大問１
（１） \( -3-(-9) \) を計算しなさい。
（２） \( 20xy^2 \div (-4xy) \) を計算しなさい。
（３） \( 4\sqrt{3}-\sqrt{12} \) を計算しなさい。
（４） \( x^2+2x-8 \) を因数分解しなさい。
（５） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-6 \) のとき \( y=2 \) である。\( y=3 \) のときの \( x \) の値を求めなさい。
（６） 図１のように，底面の半径が \( 3 \; cm \)，母線の長さが \( 6 \; cm \) の円すいがある。この円すいの側面積は何 \( cm^2 \) か，求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
円すいの頂点を点 \( A \)，底面の円の中心を点 \( O \) し，
展開すると，側面は右の図のようなおうぎ形になります。
側面のおうぎ形の弧の長さは底面の円周の長さと等しくなるので，
\( 2\pi{} \times 3=6\pi{} \; (cm) \)
母線を半径とする円周の長さは
\( 2\pi{} \times 6=12\pi{} \; (cm) \)
となるので，このおうぎ形の中心角は，
\( \dfrac{6\pi{}}{12\pi{}} \times 360°=180° \)
よって，側面積は，
\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{180°}{360°}=18\pi{} \; (cm^2) \)
（７） 図２で， \( l//m \) のとき，\( x \) の大きさは何度か，求めなさい。
\( ∠x=75° \)
（８） 表は，ある農園でとれたイチジク１０００個から，無作為に抽出したイチジク５０個の糖度を調べ，その結果を度数分布表に表したものである。この結果から，この農園でとれたイチジク１０００個のうち，糖度が１０度以上１４度未満のイチジクは，およそ何個と推定されるか，最も適切なものを，次の ア～エ から１つ選んで，その符号を書きなさい。
ア およそ１５０個
イ およそ２２０個
ウ およそ３００個
エ およそ４００個
大問２
図１のように， \( OA=2 \; cm，AB=4 \; cm，∠OAB=90° \) の直角三角形 \( OAB \) がある。２点 \( P，Q \) は同時に \( O \) を出発し，それぞれ次のように移動する。
【点 \( P \) 】
・ 辺 \( OA \) 上を \( O \) から \( A \) まで秒速 \( 1 \; cm \) の速さで移動する。
・ \( A \) に着くと，辺 \( OA \) 上を移動するときとは速さを変えて，
辺 \( AB \) 上を \( A \) から \( B \) まで一定の速さで移動し，\( B \) に着くと
停止する。
【点 \( Q \) 】
・ 辺 \( OB \) 上を \( O \) から \( B \) まで，線分 \( PQ \) が \( OA \) と垂直に
なるように移動し，\( B \) に着くと停止する。
２点 \( P，Q \) が \( O \) を出発してから \( x \) 秒後の \( △OPQ \) の面積を \( y \; cm^2 \) とする。ただし，２点 \( P，Q \) が \( O \) にあるとき，および，２点 \( P，Q \) が \( B \) にあるとき，\( △OPQ \) の面積は \( 0 \; cm^2 \) とする。
次の問いに答えなさい。
（１） ２点 \( P，Q \) が \( O \) を出発してから１秒後の線分 \( PQ \) の長さは何 \( cm \) か，求めなさい。
（２） \( 0≦x≦2 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適切なものを，次の ア～エ から１つ選んで，その符号を書きなさい。
（３） \( 2≦x≦10 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフは図２のようになる。
➀ 図２の \( \fbox{ i } \) にあてはまる数を求めなさい。
➁ 点 \( P \) が \( AB \) 上を移動するとき，点 \( P \) の速さは秒速何 \( cm \) か，求めなさい。
➂ ２点 \( P，Q \) が \( O \) を出発してから \( t \) 秒後の \( △OPQ \) の面積と，\( (t+4) \) 秒後の \( △OPQ \) の面積が等しくなる。このとき，\( t \) の値を求めなさい。ただし，\( 0<t<6 \) とする。
図２ に \( 0≦x≦2 \) のときの曲線を書き足してみます。
\( t \) 秒後の \( y \) の値と \( (t+4) \) 秒後の \( y \) の値が等しくなるので，\( 0<t<2 \) とわかります。
\( 0≦x≦2 \) のときの曲線の式は \( y=x^2 \) なので，
\( x=t \) を代入すると，\( y=t^2 \)
\( 2≦x≦10 \) のときの直線の式は \( y=-\dfrac{1}{2}x+5 \) なので，
\( x=t+4 \) を代入すると，\( y=-\dfrac{1}{2}(t+4)+5 \)
よって，
\( t^2=-\dfrac{1}{2}(t+4)+5 \)
\( t^2=-\dfrac{1}{2}t+3 \)
\( 2t^2+t-6=0 \)
\( (2t-3)(t+2)=0 \)
\( t=\dfrac{3}{2} \) (\( t>0 \) より)
大問３
図のように，\( AB=12 \; cm，BC=18 \; cm \) の \( △ABC \) がある。\( ∠BAC \) の二等分線と辺 \( BC \) の交点を \( D \) とすると，\( BD=8 \; cm \) となる。
次の問いに答えなさい。
（１） \( ∠ACD=∠CAD \) であることを次のように証明した。
ⅰ ， ⅱ にあてはまるものを，あとの ア～カ からそれぞれ１つ選んでその符号を書き，この証
明を完成させなさい。
<証明>
まず，\( △ABC \) ∽ \( △DBA \) であることを証明する。
\( △ABC \) と \( △DBA \) において，
仮定から，\( AB：DB=3：2 \) ･･･ ➀
ⅰ \( =3：2 \) ･･･ ➁
➀，➁より，
\( AB：DB= \) ⅰ ･･･ ➂
共通な角だから，
\( ∠ABC=∠DBA \) ･･･ ➃
➂，➃より，
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，
\( △ABC \) ∽ \( △DBA \)
したがって，\( ∠ACB=∠ \) ⅱ ･･･ ➄
仮定から， \( ∠ \) ⅱ \( =∠DAC \) ･･･ ⑥
➄，➅より，\( ∠ACD=∠CAD \)
ア \( BC：BA \) イ \( BA：BC \) ウ \( BC：DB \)
エ \( ABD \) オ \( DAB \) カ \( ADB \)
ⅰ ･･･ ア
ⅱ ･･･ オ
（２） 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か，求めなさい。
（１）より，\( ∠ACD=∠CAD \) なので，
\( △ACD \) は \( AD=CD \) の二等辺三角形になっています。
\( BD=8 \; cm，BC=18 \; cm \) より，
\( CD=18-8=10 \; (cm) \) なので，
\( AD=CD=10 \; (cm) \)
（３） 線分 \( AC \) の長さは何 \( cm \) か，求めなさい。
\( AC：DA=3：2 \)
\( AC：10=3：2 \)
\( AC=15 \; (cm) \)
（４） 辺 \( AB \) 上に，\( DE=8 \; cm \) となるように，点 \( B \) と異なる点 \( E \) をとる。また，辺 \( AC \) 上に点 \( F \) をとり，\( AE，AF \) をとなり合う辺とするひし形をつくる。このひし形の面積は，\( △ABC \) の面積の何倍か，求めなさい。
このことから，まず，\( △AEF \) と \( △ABC \) の面積比を求めてから，ひし形と \( △ABC \) の面積比を求めることにします。
\( △AED \) と \( △AFD \) において，
ひし形のすべての辺の長さは等しいので，
\( AE=AF \)
線分 \( AD \) は \( ∠BAC \) の二等分線なので，
\( ∠EAD=∠FAD \)
線分 \( AD \) は共通
よって，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △AED≡△AFD \)
また，
\( ∠BED \) は \( △AED \) の外角なので，
\( ∠BED=∠EAD+∠ADE \)
\( ∠CFD \) は \( △AFD \) の外角なので，
\( ∠CFD=∠FAD+∠ADF \)
\( ∠EAD=∠FAD，∠ADE=∠ADF \) より，
\( ∠BED=∠CFD \)
\( △DBE \) は二等辺三角形で底角は等しいので，
\( ∠BED=∠EBD \) であり，
\( ∠BED=∠CFD \) より，\( ∠EBD=∠CFD \)
\( △ABD \) と \( △CFD \) において，
\( ∠ABD=∠CFD，∠BAD=∠FCD \) より，
のこり１つの角も等しいので，\( ∠ADB=∠CDF \)
\( AD=CD=10 \; cm \) より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABD≡△CFD \)
対応する辺の長さは等しいので，
\( CF=AB=12 \; cm \)
\( AC=15 \; cm \) より，\( AF=AC-CF=3 \; cm \)
ここで，\( △AEF \) の面積を１とすると，
\( △AEF：△ABF=AE：AB=3：12=1：4 \)
\( △ABF：△CBF=AF：CF=3：12=4：16 \)
より，\( △ABF \) の面積は４，\( △CBF \) の面積は１６となるので，
\( △ABC=△ABF+△CBF=20 \)
ひし形の面積は\( △AEF \) の面積の２倍なので，２となります。
以上より，ひし形の面積は \( \dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10} \) 倍
大問４
図のように，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に異なる２点 \( A，B \) があり，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に点 \( C \) がある。点 \( C \) の座標は \( (2，-1) \) であり，点 \( A \) と点 \( B \) の \( y \) 座標は等しく，点 \( B \) と点 \( C \) の \( x \) 座標は等しい。
次の問いに答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さは \( 1 \; cm \) とする。
（１） 点 \( A \) の \( x \) 座標を求めなさい。
（２） \( a \) の値を求めなさい。
（３） 直線 \( AC \) の式を求めなさい。
（４） ３点 \( A，B，C \) を通る円を円 \( O′ \) とする。
➀ 円 \( O′ \) の直径の長さは何 \( cm \) か，求めなさい。
３点 \( A，B，C \) は円 \( O′ \) の円周上にあるので，
\( ∠ABC=90° \) より，\( ∠ABC \) は直径 \( AC \) に対する円周角となります。
\( A(-2，4)，B(2，4)，C(2，-1) \) より，
\( AB=4 \; cm，BC=5 \; cm \) なので，
\( AC^2=AB^2+BC^2=41 \)
\( AC=\sqrt{41} \; (cm) \) (\( AC>0 \) より)
➁ 円 \( O′ \) と \( x \) 軸との交点のうち，\( x \) 座標が正の数である点を \( D \) とする。点 \( D \) の \( x \) 座標を求めなさい。
ここから，中心 \( O′ \) の座標を求めると，
三平方の定理を使って，点 \( D \) の \( x \) 座標を求めることができます。
線分 \( AC \) は円 \( O′ \) の直径なので，
中心 \( O′ \) は線分 \( AC \) の中点になります。
中心 \( O′ \) の
\( x \) 座標は，\( \dfrac{-2+2}{2}=0 \)，
\( y \) 座標は，\( \dfrac{4+(-1)}{2}=\dfrac{3}{2} \)
となるので，\( OO’=\dfrac{3}{2} \; cm \)
点 \( D \) の座標を \( (t,0) \) とすると，\( OD=t \; cm \)
直径 \( AC=\sqrt{41} \; cm \) より，半径 \( O’D=\dfrac{\sqrt{41}}{2} \; cm \) なので，
三平方の定理より，
\( O’D^2=OO’^2+OD^2 \)
\( \left( \dfrac{\sqrt{41}}{2} \right)^2=\left( \dfrac{3}{2} \right)^2+t^2 \)
\( \dfrac{41}{4}=\dfrac{9}{4}+t^2 \)
\( t^2=8 \)
\( t=2\sqrt{2} \) (\( t>0 \) より)
大問５
さいころが１つと大きな箱が１つある。また，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数がそれぞれ１つずつ書かれた玉がたくさんある。箱の中が空の状態から，次の【操作】を何回か続けて行う。そのあいだ，箱の中から玉は取り出さない。
あとの問いに答えなさい。ただし，玉は【操作】を続けて行うことができるだけの個数があるものとする。また，さいころの \( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。
(ⅰ) さいころを１回投げ，出た目を確認する。
(ⅱ) 出た目の約数が書かれた玉を，それぞれ１個ずつ箱の中に入れる。
例：(ⅰ)で \( 4 \) の目が出た場合は，(ⅱ)で \( 1，2，4 \) が書かれた玉をそれぞれ１個ずつ箱の中に入れる。
（１） （ｉ）で \( 6 \) の目が出た場合は，（ⅱ）で箱の中に入れる玉は何個か，求めなさい。
（２） 【操作】を２回続けて行ったとき，箱の中に４個の玉がある確率を求めなさい。
ここから，【操作】を２回続けて行ったとき，さいころの目の組み合わせによって，
箱の中に入れる球の個数が合計何個になるかを樹形図に書き出してみます。
箱の中に入れる球の個数が４個になる組み合わせは１１通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{11}{36} \)
（３） 【操作】を \( n \) 回続けて行ったとき，次のようになった。
・ 箱の中には，全部で５２個の玉があり，そのうち \( 1 \) が書かれた玉は２１個であった。\( 4 \) が書かれた玉の個数と \( 6 \) が書かれた玉の個数は等しかった。
➀ \( n \) の値を求めなさい。
\( 1 \) が書かれた玉の個数と【操作】が行われた回数は等しくなります。
よって，【操作】が行われた回数は２１回とわかります。
➁ \( 5 \) の目が何回出たか，求めなさい。
問➀より，【操作】が行われたのは全部で２１回です。
また，\( 4 \) が書かれた玉を入れるのは，\( 4 \) の目が出たときだけ，
\( 6 \) が書かれた玉を入れるのは，\( 6 \) の目が出たときだけなので，
玉の個数が等しいことから，\( 4 \) の目が出た回数と\( 6 \) の目が出た回数は等しかったとわかります。
よって，\( 3 \) の目が出た回数と \( 5 \) の目が出た回数をそれぞれ \( a \) 回，
\( 4 \) の目が出た回数と\( 6 \) の目が出た回数をそれぞれ \( b \) 回とし，
出た目の回数の関係を方程式にすると，\( 2a+2b=14 \) ･･･ ➀ となります。
次に箱の中の玉の個数に注目すると，
２１回の【操作】を行った結果，箱の中の玉の個数は，下の表のようになるので，
箱の中の玉の個数の関係を方程式にすると，\( 4a+7b=40 \) ･･･ ➁ となります。
よって，➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
2a+2b=14 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4a+7b=40 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➁ \( – \) ➀ \( \times 2 \)
\( 3b=12 \)
\( b=4 \)
➀に代入すると，
\( 2a+2 \times 4=14 \)
\( a=3 \)
よって，\( 5 \) の目が出た回数は３回。
➂ ５２個の玉のうち，\( 5 \) が書かれた玉を箱の中から全て取り出す。その後，箱の中に残った玉をよくかき混ぜてから，玉を１個だけ取り出すとき，その取り出した玉に書かれた数が \( 6 \) の約数である確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。
大問６
数学の授業中に先生が手品を行い，ゆうりさんたち生徒は手品の仕掛けについて考察した。
あとの問いに答えなさい。
先 生：ここに３つの空の箱，箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃと，たくさんのコインがあります。ゆうりさん，先生に
見えないように，黒板に示している作業１～４を順に行ってください。
２０以上とする。
作業２：箱Ｂ，箱Ｃから８枚ずつコインを取り出し，箱Ａに入れる。
作業３：箱Ｃの中にあるコインの枚数を数え，それと同じ枚数のコインを箱Ａから取り出し，
箱Ｂに入れる。
作業４：箱Ｂから１枚コインを取り出し，箱Ａに入れる。
ゆうり：はい。できました。
先 生：では，箱Ａの中にコインが何枚あるか当ててみましょう。 ａ 枚ですね。どうですか。
ゆうり：数えてみます。 \( 1，2，3，･･･ ， \) すごい！ 確かにコインは ａ 枚あります。
（１） 作業１で, 箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃに２０枚ずつコインを入れた場合， ａ にあてはまる数を求めなさい。
作業１～４を行ったときの箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃに入っているコインの枚数を右の表のように書き出してみます。
（２） 授業後，ゆうりさんは「授業振り返りシート」を作成した。 ⅰ にあてはまる数， ⅱ ， ⅲ にあてはまる式をそれぞれ求めなさい。
授業日：３月１０日 (金)
先生が手品をしてくれました。その手品の仕掛けを数学的に説明するために，グループで話し合いま
した。
作業１で箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃに２０枚ずつコインを入れても，２１枚ずつコインを入れても，作業４の
後に箱Ａの中にあるコインは ａ 枚となります。
なぜそのようになるかは，次のように説明できます。
が ⅰ 枚あるということです。
・ 作業１で箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃに \( x \) 枚ずつコインを入れた場合，作業２の後に箱Ａの中にある
コインは \( x \) を用いて ⅱ 枚，箱Ｃの中にあるコインは \( x \) を用いて ⅲ 枚と表す
ことができます。つまり，作業３では ⅲ 枚のコインを箱Ａから取り出すので， ⅱ から
ⅲ をひくと，\( x \) の値に関係なく ⅰ になります。
よかったということです。
（１）で作った表より，作業３の後の箱Ａの中のコインの枚数は２４枚
（１）と同様に，作業１で箱Ａ，箱Ｂ，箱Ｃに \( x \) 枚ずつコインを入れた場合の表を書いてみます。
ⅲ
作業２では，箱Ｃから８枚コインを取り出すので，
取り出した後のコインの枚数は \( x-8 \) 枚になります。
ⅱ
作業２では，箱Ｂ，箱Ｃから８枚ずつコインを取り出し，その合計１６枚を箱Ａに入れるので，コインを入れた後の枚数は，\( x+16 \) 枚になります。
注）ここでは，作業２までの枚数だけで解けます。
（３） ゆうりさんは，作業２で箱Ｂ，箱Ｃから取り出すコインの枚数を変えて何回かこの手品を行い，作業３の後に箱Ａの中にあるコインの枚数は必ず \( n \) の倍数となることに気がついた。ただし，作業２では箱Ｂ，箱Ｃから同じ枚数のコインを取り出し，箱Ａに入れることとし，作業２以外は変更しない。また，各作業中，いずれの箱の中にあるコインの枚数も \( 0 \) になることはないものとする。
➀ \( n \) の値を求めなさい。ただし，\( n \) は \( 1 \) 以外の自然数とする。
作業２を終えた後，
箱Ａのコインの枚数は \( x+2a \) 枚，
箱Ｃのコインの枚数は \( x-a \) 枚
になります。
作業３では，
箱Ａからコインを \( x-a \) 枚取り出すので，
取り出した後のコインの枚数は，
\( (x+2a)-(x-a)=3a \)（枚）となります。
\( a \) は自然数なので，\( 3a \) は \( 3 \) の倍数になります。
➁ 次の ア～ウ のうち，作業４の後に箱Ａの中にあるコインの枚数として適切なものを，ゆうりさんの気づきをもとに１つ選んで，その符号を書きなさい。また，その枚数にするためには，作業２で箱Ｂ，箱Ｃから何枚ずつコインを取り出せばよいか，求めなさい。
ア \( 35 \) イ \( 45 \) ウ \( 55 \)
作業４では，箱Ａにコインを１枚入れるので，
作業４を終えた後，
箱Ａのコインの枚数は \( 3a+1 \) 枚になります。
つまり，作業４を終えた後の箱Ａのコインの枚数は
３の倍数より１大きい数になります。
よって，
ア ･･･ \( 35=3 \times 11+2 \)
イ ･･･ \( 45=3 \times 15 \)
ウ ･･･ \( 55=3 \times 18+1 \)
なので，あてはまるのは ウ で，
そのときの \( a \) の値は，\( a=18 \) になります。
