石川県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

点 \( B \) は \( y=2x^2 \) 上の点で，\( x=-4 \) なので，
　\( y=2 \times (-4)^2=32 \)

点 \( B､C \) は \( y \) 座標が等しいことから，
点 \( C \) は \( y \) 軸に対して点 \( B \) と対称な点なので，\( C( 4，32) \)

点 \( D \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，\( x=4 \) なので，
　\( y=-4^2=-16 \)

直線 \( BD \) は \( B\left( -4，32 \right)，D( 4，-16) \) を通るので，
直線 \( BD \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{-16-32}{4-(-4)} \)
　　 \( =-6 \)
\( y=-6x+n \) に \( x=4，y=-16 \) を代入すると，
　\( -16=-6 \times 4+n \)
　　 \( n=8 \)

よって，直線 \( BD \) の式は \( y=-6x+8 \)

点 \( E \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x=-1 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-1)^2=\dfrac{1}{2} \)
点 \( F \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x=2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 2^2=2 \)

点 \( G \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，\( y=-x^2 \) 上の点
なので，\( y \) 座標は \( -t^2 \) と表すことができます。

手順１　点 \( D \) を中心に円弧を描く
（辺 \( AD，CD \) との交点を \( F，G \) とします）
手順２　２点 \( F，G \) を中心に円弧を描く
（交点を \( H \) とします）
手順３　２点 \( D，H \) を通る直線を描く
手順４　２点 \( B，E \) を中心に円弧を描く
（交点を \( I，J \) とします）
手順５　２点 \( I，J \) を通る直線を描く
（辺 \( BC \) との交点を \( K \) とします）
手順６　点 \( K \) を中心に線分 \( BK \) を半径とする
　　　　円弧を描く

条件➁について，\( ∠ADC=80°，∠PDC=40° \) より，点 \( P \) は \( ∠ADC \) の二等分線上の点であることがわかります。

条件➂について，\( ∠BPE \) を円周角と考えると，
点 \( P \) は線分 \( BE \) を直径とする円周上の点であることがわかります。
線分 \( BE \) を直径とする円の中心は線分 \( BE \) の中点なので，線分 \( BE \) の垂直二等分線を作図することで求めることができます。

\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠ABC=\dfrac{180°－100°}{2}=40° \)
\( ∠EBC=13° \) より，
　\( ∠ABE=40°-13°=27° \)

\( △ABE \) において，\( ∠AEB=x \) とすると，
　\( x=180°-(100°+27°)=53° \)

\( △ABE \) と \( △CAF \) において，
仮定より，
　\( AB=CA \) ･･･ ➀
\( AB//CF \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠BAE=∠ACF \) ･･･ ➁
\( \stackrel{\huge\frown}{ AD }=\stackrel{\huge\frown}{ DC } \) より，円周角は等しいので，
　\( ∠ABE=∠DBC \) ･･･ ➂
\( \stackrel{\huge\frown}{ DC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠DBC=∠CAF \) ･･･ ➃
➂➃より，
　\( ∠ABE=∠CAF \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABE≡△CAF \)

図２の展開図を組み立てると右の図の同じ色にした辺がくっつくので，点 \( C \) と重なる点は，
アとキになります。

 \( △CDK \) において，\( DC=AB=2\sqrt{6} \; cm，CK=\dfrac{1}{2}BC=\sqrt{3} \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( DK^2=(2\sqrt{6})^2+(\sqrt{3})^2=27 \)
　 \( DK=3\sqrt{3} \; (cm) \)（ \( DK>0 \) より）

四角形 \( DHLK \) の面積は，
　\( 3 \times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3} \; (cm^2) \)

\( △EHL \) において，点 \( E \) から線分 \( HL \) に垂線をひいた交点を \( J \) とし，\( HJ=x \; cm \) とすると，\( EL=HL=DK=3\sqrt{3} \; cm \) なので，
　\( (2\sqrt{3})^2-x^2=(3\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3}-x)^2 \)
　　　 \( 12-x^2=27-(27-6\sqrt{3}x+x^2) \)
　　　　 \( 6\sqrt{3}x=12 \)
　　　　　　 \( x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \; (cm) \)
となり，
　\( EJ^2=(2\sqrt{3})^2-\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)^2=\dfrac{96}{9} \)
　 \( EJ=\dfrac{4\sqrt{6}}{3} \; (cm) \)（ \( EJ>0 \) より）

円すいの頂点を \( K \) ，底面の円の中心を \( O \)，
切り口の円の中心を \( O’ \) とすると，
\( △KBO’ \) ∽ \( △KMO \) であり，
切り口の円の直径は四角形 \( ABCD \) の対角線になるので，
　\( KO’：KO=O’B：OM \)
　　　　\( 5：8=3：OM \)
　　　　\( OM=\dfrac{24}{5} \; (cm) \)
ここから，
　\( MN=2OM=\dfrac{48}{5} \; (cm) \)

\( △PMN \) の面積が最大になるのは，
\( OP⊥MN \) になるときであり，
\( ∠OO’P=90° \) なので，
　\( OP^2=3^2+3^2=18 \)
　 \( OP=3\sqrt{2} \; (cm) \)（ \( OP>0 \) より）
よって，\( △PMN \) の面積は，
　\( △PMN=\dfrac{48}{5} \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{72\sqrt{2}}{5} \; (cm^2) \)

これ以外の位置に点 \( P \) があるとき，
点 \( P \) から線分 \( MN \) に垂線をひいた交点を \( L \)．
点 \( L \) から切り口の面に垂線をひいた交点を \( L’ \)
とすると，線分 \( L’P \) は \( O’P \) より短くなりす。
線分 \( L’P=x \; cm \) とするとき，
　\( OP=\sqrt{3^2+3^2} cm \)
　\( LP=\sqrt{x^2+3^2} cm \)
であり，\( x<3 \) より \( OP>LP \) なので，
\( OP⊥MN \) になるときに \( △PMN \) の面積が最大になります。