大問１
（ア） \( -1-(-7) \)
１ \( -8 \) ２ \( -6 \) ３ \( 6 \) ４ \( 8 \)
（イ） \( -\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2} \)
１ \( -\dfrac{13}{14} \) ２ \( -\dfrac{1}{14} \) ３ \( \dfrac{1}{14} \) ４ \( \dfrac{13}{14} \)
（ウ） \( 12ab^2 \times 6a \div (-3b) \)
１ \( -24a^2b \) ２ \( -24ab^2 \) ３ \( 24a^2b \) ４ \( 24ab^2 \)
（エ） \( \dfrac{3x+2y}{7}-\dfrac{2x-y}{5} \)
１ \( \dfrac{x-17y}{35} \) ２ \( \dfrac{x-3y}{35} \) ３ \( \dfrac{x+3y}{35} \) ４ \( \dfrac{x+17y}{35} \)
（オ） \( (\sqrt{6}+5)^2-5(\sqrt{6}+5) \)
１ \( 6-5\sqrt{6} \) ２ \( 6+5\sqrt{6} \) ３ \( 6+10\sqrt{6} \) ４ \( 6+15\sqrt{6} \)
大問２
次の問いに対する答えとして正しいものを，それぞれあとの１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
（ア） \( (x-5)(x+3)-2x+10 \) を因数分解しなさい。
１ \( (x-3)(x+3) \) ２ \( (x-5)(x+1) \) ３ \( (x-5)(x+5) \) ４ \( (x+5)(x-1) \)
（イ） ２次方程式 \( 7x^2+2x-1=0 \) を解きなさい。
１ \( x=\dfrac{-1±2\sqrt{2}}{7} \) ２ \( x=\dfrac{-1±4\sqrt{2}}{7} \) ３ \( x=\dfrac{1±2\sqrt{2}}{7} \) ４ \( x=\dfrac{1±4\sqrt{2}}{7} \)
（ウ） 関数 \( y=-2x^2 \) について，\( x \) の値が \( -3 \) から \( -1 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
１ \( -8 \) ２ \( -4 \) ３ \( 4 \) ４ \( 8 \)
（エ） 十の位の数が \( 4 \) である３桁の自然数がある。この自然数の百の位の数と一の位の数の和は１０であり，百の位の数と一の位の数を入れかえた数はこの自然数より \( 396 \) 大きい。
このとき，この自然数の一の位の数を求めなさい。
１ \( 6 \) ２ \( 7 \) ３ \( 8 \) ４ \( 9 \)
（オ） \( \dfrac{3780}{n} \) が自然数の平方となるような，最も小さい自然数 \( n \) の値を求めなさい。
１ \( n=35 \) ２ \( n=70 \) ３ \( n=105 \) ４ \( n=210 \)
大問３
（ア） 右の図１のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の周上に，２点 \( A，B \) とは異なる点 \( C \) を，\( AC<BC \) となるようにとり，点 \( C \) を含まない弧 \( AB \) 上に点 \( D \) を，\( ∠ABC=∠ABD \) となるようにとる。
また，点 \( A \) を含まない弧 \( BD \) 上に，２点 \( B，D \) とは異なる点 \( E \) をとり，線分 \( AB \) と線分 \( CE \) との交点を \( F \)，線分 \( AE \) と線分 \( BD \) との交点を \( G \)，線分 \( BD \) と線分 \( CE \) との交点を \( H \) とする。
さらに，線分 \( CE \) 上に点 \( I \) を，\( DB//AI \) となるようにとる。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。
（ⅰ） 三角形 \( AIF \) と三角形 \( EHG \) が相似であることを次のように証明した。 (a) ～ (c) に最も適するものを，それぞれ選択肢の１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
まず，\( DB//AI \) より，平行線の同位角は等しいから，
(a)
よって，\( ∠AIF=∠EHG \) ･･･ ➀
次に，仮定より，
\( ∠ABC=∠ABD \) ･･･ ➁
また，弧 \( AC \) に対する円周角は等しいから，
\( ∠ABC=∠AEC \) ･･･ ③
さらに，\( DB//AI \) より，平行線の錯角は等しい
から，
(b) ･･･ ➃
➁，③，➃ より，\( ∠AEC=∠BAI \)
よって，\( ∠FAI=∠GEH \) ･･･ ➄
➀，➄ より， (c) から,
\( △AIF \) ∽ \( △EHG \)
(a)，(b) の選択肢
１． \( ∠ABD=∠BAI \)
２． \( ∠AIE=∠BHC \)
３． \( ∠AIE=∠DHE \)
４． \( ∠EAI=∠EGB \)
(c) の選択肢
１． １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
２． ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
３． ３組の辺の比がすべて等しい
４． ２組の角がそれぞれ等しい
（ⅱ） 次の の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
\( ∠BDE=35°，∠DBE=28° \) のとき，\( ∠CAI \) の大きさは あ い ° である。
\( △ABE \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠AEB=90° \)
弧 \( BE \) に対する円周角なので，\( ∠BAE=∠BDE=35° \)
仮定より，\( ∠DBE=28° \)
ここから，\( ∠ABD=180°-(90°+35°+28°)=27° \)
\( △ABC \) において，
仮定より，\( ∠ABC=∠ABD=27° \)
\( DB//AI \) より，錯角は等しいので，\( ∠BAI=∠ABD=27° \)
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
ここから，\( ∠CAI=180°-(90°+27°+27°)=36° \)
（イ） ある中学校で１学年から３学年まであわせて１０クラスの生徒が集まり生徒総会を開催した。生徒総会では生徒会から３つの議案Ｘ，Ｙ，Ｚが提出され，それぞれの議案について採決を行った。
右の資料１は議案Ｘに賛成した人数を，資料２は議案Ｙに賛成した人数を，それぞれクラスごとに記録したものである。資料３は議案Ｚに賛成した人数をクラスごとに記録し，その記録の平均値，中央値，四分位範囲をまとめたものである。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ） に答えなさい。
（ⅰ） 資料１の記録を箱ひげ図に表したものとして最も適するものを次の１～４の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
（ⅱ） 資料２と資料３から読み取れることがらを，次のＡ～Ｄの中からすべて選んだときの組み合わせとして最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
Ａ． 議案Ｙに賛成した人数の最頻値は２０人である。
Ｂ． 賛成した人数の合計は，議案Ｚより議案Ｙの方が多い。
Ｃ． 賛成した人数の中央値は，議案Ｚより議案Ｙの方が大きい。
Ｄ． 賛成した人数の四分位範囲は，議案Ｚより議案Ｙの方が小さい。
１． Ａ，Ｂ ２． Ａ，Ｃ ３． Ｂ，Ｄ
４． Ｃ，Ｄ ５． Ａ，Ｂ，Ｃ ６． Ａ，Ｃ，Ｄ
（ウ） 学校から駅までの道のりは \( 2400 \; m \) であり，その途中にかもめ図書館といちょう図書館がある。ＡさんとＢさんは \( 16 \) 時に学校を出発し，それぞれが図書館に立ち寄ってから駅まで移動する中で一度すれ違ったが，駅には同時に到着した。
Ａさんは，かもめ図書館に \( 5 \) 分間立ち寄って本を借り，駅まで移動した。Ｂさんは，いちょう図書館に \( 15 \) 分間立ち寄って借りたい本を探したが見つからなかったため道を引き返し，かもめ図書館に \( 5 \) 分間立ち寄って本を借り，駅まで移動した。
次の図２は，学校，かもめ図書館，いちょう図書館，駅の間の道のりを示したものである。図３は，\( 16 \) 時に学校を出発してから \( x \) 分後の学校からの道のりを \( y \; m \) として，Ａさんが駅に到着するまでの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものであり，\( O \) は原点である。
このとき，ＡさんとＢさんがすれ違った時間帯として最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。ただし，ＡさんとＢさんの，それぞれの移動中の速さは常に一定であり，図書館での移動は考えないものとする。
１． \( 16 \) 時 \( 19 \) 分から \( 16 \) 時 \( 21 \) 分までの間 ２． \( 16 \) 時 \( 21 \) 分から \( 16 \) 時 \( 23 \) 分までの間
３． \( 16 \) 時 \( 23 \) 分から \( 16 \) 時 \( 25 \) 分までの間 ４． \( 16 \) 時 \( 25 \) 分から \( 16 \) 時 \( 27 \) 分までの間
５． \( 16 \) 時 \( 27 \) 分から \( 16 \) 時 \( 29 \) 分までの間 ６． \( 16 \) 時 \( 29 \) 分から \( 16 \) 時 \( 31 \) 分までの間
Ｂさんが移動した道のりは，全部で \( 3600 \; m \)で，
移動にかかった時間は \( 15 \) 分なので，
Ｂさんが移動した速さは，\( \dfrac{3600}{15}=240 \) より，
毎分 \( 240 \; m \)
ここから，図３にＢさんが移動した状態を表すグラフを書き加えると，下の図のようになります。
下のグラフから，Ｂさんが
いちょう図書館を出発するのは，\( x=22.5 \) のとき，
かもめ図書館に到着するのは，\( x=25 \) のとき
なので，あてはまるのは ３
（エ） 次の の中の う ， え にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
右の図４において，四角形 \( ABCD \) は \( AB=CD=DA \) ，
\( AB：BC=1：2 \) の台形である。
また，点 \( E \) は辺 \( BC \) 上の点で \( BE：EC=3：1 \) であり，
２点 \( F，G \) はそれぞれ辺 \( CD，DA \) の中点である。
さらに，線分 \( AE \) と線分 \( BF \) との交点を \( H \)，線分 \( AE \) と
線分 \( BG \) との交点を \( I \) とする。
三角形 \( BHI \) の面積を \( S \)，四角形 \( CFHE \) の面積を \( T \) と
するとき，\( S \) と \( T \) の比を最も簡単な整数の比で表すと，
\( S：T= \) う ： え である。
問題で与えられた条件から，線分 \( AG \) の長さを ➀ とするとき，
それぞれの線分の長さは，右の図のとおりになります。
\( △AIG \) ∽ \( △EIB \)，\( AG：EB=1：3 \) より，
\( △AIG：△EIB=1：9 \) なので，
\( △AIG= \)【１】とすると，\( △EIB= \)【９】
\( △AIG \) と \( △AIB \) は，高さが共通なので，
\( △AIG：△AIB=GI：BI=1：3 \)
ここから，\( △AIB= \)【３】
\( △AGB \) と \( △DGB \) は，高さが共通なので，
\( △AGB：△DGB=AG：GD=1：1 \)
\( △AGB= \)【３】\( + \)【１】\( = \)【４】より，
\( △DGB=△AGB= \)【４】
\( △ADB \) と \( △BCD \) は，高さが共通なので，
\( △ADB：△BCD=AD：BC=1：2 \)
\( △ADB= \)【８】より，\( △BCD=2△ADB= \)【１６】
\( △BDF \) と \( △BCF \) は，高さが共通なので，
\( △BDF：△BCF=CF：DF=1：1 \)
\( △BCD= \)【１６】より，\( △BCF=\dfrac{1}{2}△BCD= \)【８】
線分 \( BF，AD \) の延長線の交点を \( J \) とすると，
\( △BCF≡△JDF \) なので，\( BC=JD= \) ➃
\( △BEH \) ∽ \( △JAH \)，\( BE：JA=1：2 \) より，
\( EH：AH=1：2 \)
\( △BEH \) と \( △ABH \) は，高さが共通なので，\( △BEH：△ABH=EH：AH=1：2 \)
\( △ABE= \)【１２】より，\( △BEH=\dfrac{1}{3}△ABE= \)【４】
\( △BHI=△ABE-(△AIB+△BEH)= \)【１２】\( -( \)【３】\( + \)【４】\( )= \)【５】
四角形 \( CFHE=△BCF-△BEH= \)【８】\( – \)【４】\( = \)【４】
よって，\( △BHI： \) 四角形 \( CFHE=5：4 \)
大問４
右の図において，直線 ➀ は関数 \( y=-x+9 \) のグラフであり，曲線 ➁ は関数 \( y=ax^2 \) のグラフ，
曲線 ➂ は関数 \( y=-\dfrac{1}{6}x^2 \) のグラフである。
点 \( A \) は直線 ➀ と曲線 ➁ との交点で，その \( x \) 座標は \( 3 \) である。点 \( B \) は曲線 ➁ 上の点で，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は直線 ➀ と \( x \) 軸との交点である。
また，２点 \( D，E \) は曲線 ➂ 上の点で，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( -6 \) であり，線分 \( DE \) は \( x \) 軸に平行である。
さらに，点 \( F \) は線分 \( BD \) と \( x \) 軸との交点である。
原点を \( O \) とするとき，次の問いに答えなさい。
（ア） 曲線 ➁ の式 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
１． \( a=\dfrac{1}{4} \) ２． \( a=\dfrac{1}{3} \) ３． \( a=\dfrac{2}{5} \)
４． \( a=\dfrac{1}{2} \) ５． \( a=\dfrac{2}{3} \) ６． \( a=\dfrac{3}{4} \)
点 \( A \) は \( y=-x+9 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 3 \) なので，\( y \) 座標の値は
\( y=-3+9=6 \)
よって，
\( y=ax^2 \) に \( x=3，y=6 \) を代入すると，
\( 6=a \times 3^2 \)
\( a=\dfrac{2}{3} \)
（イ） 直線 \( EF \) の式を \( y=mx+n \) とするときの （ⅰ）\( m \) の値 と，（ⅱ）\( n \) の値 として正しいものを，それぞれ次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。
（ⅰ） \( m \) の値
１． \( m=-\dfrac{5}{6} \) ２． \( m=-\dfrac{5}{7} \) ３． \( m=-\dfrac{2}{3} \)
４． \( m=-\dfrac{4}{7} \) ５． \( m=-\dfrac{1}{3} \) ６． \( m=-\dfrac{1}{6} \)
（ⅱ） \( n \) の値
１． \( n=-\dfrac{18}{7} \) ２． \( n=-\dfrac{5}{2} \) ３． \( n=-\dfrac{7}{3} \)
４． \( n=-\dfrac{13}{6} \) ５． \( n=-\dfrac{15}{7} \) ６． \( n=-2 \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，点 \( A \) の \( y \) 座標と等しいので，\( B(-3，6) \)
点 \( D \) は \( y=-\dfrac{1}{6}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( -6 \) なので，\( y \) 座標の値は
\( y=-\dfrac{1}{6} \times (-6)^2=-6 \)
であり，\( D(-6，-6) \) になります。
\( B(-3，6)，D(-6，-6)， \)点 \( F \) の \( y \) 座標は \( 0 \) より，点 \( F \) は線分 \( BD \) の中点になっています。
ここから，点 \( F \) の \( x \) 座標は，
\( \dfrac{-3+(-6)}{2}=-\dfrac{9}{2} \)
よって，\( F \left( -\dfrac{9}{2}，0 \right) \)
点 \( E \) の \( y \) 座標は，点 \( D \) の \( y \) 座標と等しいので，\( E(6，-6) \)
直線 \( EF \) の傾き \( m \) は，
\( m=\dfrac{-6-0}{6-\left( -\dfrac{9}{2} \right)}=-\dfrac{4}{7} \)
\( y=-\dfrac{4}{7}x+n \) に \( x=6，y=-6 \) を代入すると，
\( -6=-\dfrac{4}{7} \times 6+n \)
\( n=-\dfrac{18}{7} \)
（ウ） 次の の中の「お」「か」「き」「く」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から1つずつ選び，その数字を答えなさい。
\( △BDG \) と \( △DEG \) は，辺 \( DG \) が共通で，
面積が等しいので，線分 \( BE \) と辺 \( DG \) は，
線分 \( BE \) の中点で交わります。
(詳細は別途解説あり)
線分 \( BE \) の中点を点 \( I \) とすると，
\( B(-3，6)，E(6，-6) \) より，
\( I \) の \( x \) 座標は，\( \dfrac{-3+6}{2}=\dfrac{3}{2} \)
\( y \) 座標は，\( \dfrac{6+(-6)}{2}=0 \)
直線 \( DG \) は，\( D(-6，-6)，I\left(\dfrac{3}{2}，0 \right) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{0-(-6)}{\dfrac{3}{2}-(-6)}=\dfrac{4}{5} \)
線分 \( DG \) の式を \( y=\dfrac{4}{5}x+b \) とし，\( x=-6，y=-6 \) とすると，
\( -6=\dfrac{4}{5} \times (-6)+b \)
\( b=-\dfrac{6}{5} \)
点 \( C \) は，\( y=-x+9 \) と \( x \) 軸の交点なので，\( C(9，0) \) であり，
直線 \( BC \) は，\( B(-3，6)，C(9，0) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{0-6}{9-(-3)}=-\dfrac{1}{2} \)
直線 \( BC \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，\( x=9，y=0 \) とすると，
\( 0=-\dfrac{1}{2} \times 9+b \)
\( b=\dfrac{9}{2} \)
点 \( G \) は，直線 \( DG \) と直線 \( BC \) の交点なので，
\( y=\dfrac{4}{5}x-\dfrac{6}{5} \) と \( y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2} \) を連立方程式として解くと，
\( x=\dfrac{57}{13} \)
点 \( B，E \) から辺 \( DG \) に垂線をひき，
交点をそれぞれ \( P，Q \)，
線分 \(BE\) と辺 \( DG \) の交点を \( I \)
とすると，
\( △BIP \) と \( △EIQ \) において，
線分 \( BP \) は \( △BDG \) の高さ，
線分 \( EQ \) は \( △DEG \) の高さにあたるので，
\( BP=EQ \) ･･･ ➀
\( BP⊥DG，EQ⊥DG \) より，
\( ∠BPI=∠EQI \) ･･･ ➁
\( BP//EQ \) なので，錯角は等しく，
\( ∠IBP=∠IEQ \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △BIP≡△EIQ \)
対応する辺の長さは等しいので，\( BI=EI \)
よって，線分 \( BE \) と辺 \( DG \) は，線分 \( BE \) の中点で交わります。
大問５
右の図１のように，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒがあり，場所Ｐには，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数が１つずつ書かれた６個の直方体のブロックが，書かれた数の大きいものから順に，下から上に向かって積まれている。
大, 小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒの３か所にあるブロックの個数について考える。
【操作１】 \( a \) と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，順番を変えずに
場所Ｑへ移動する。
【操作２】 \( b \) と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，\( b \) と同じ数の
書かれたブロックが場所Ｐ，場所Ｑのどちらにある場合も場所Ｒへ移動する。
例
大きいさいころの出た目の数が \( 5 \)，小さいさいころの出た目の数が \( 1 \) のとき，\( a=5，b=1 \) だから，
【操作１】 図１の，\( 5 \) が書かれたブロックと，その上に積まれている
すべてのブロックを，順番を変えずに場所Ｑへ移動するの
で，図２のようになる。
【操作２】 図２の，\( 1 \) が書かれたブロックを，場所Ｒへ移動するの
で，図３のようになる。
この結果，３か所にあるブロックの個数は，場所Ｐに１個，場所Ｑに４個，場所Ｒに１個となる。
いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（ア） 次の の中の「け」「こ」「さ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
あてはまる組み合わせは，\( a=2，b=4 \) または \( a=4，b=2 \) の２通り。
すべての組み合わせは３６通りなので，求める確率は \( \dfrac{1}{18} \)
\( a=2，b=4 \) のとき
\( a=4，b=2 \) のとき
（イ） 次の の中の「し」「す」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
● \( a=6 \) の場合
場所Ｐにあるブロックすべてを場所Ｑに移動させるので，場所Ｐにあるブロックの個数は０個になります。
場所Ｑから場所Ｐに戻すことはないので，この場合は，小さいさいころの出た目の数はどれでもいいことになります。
例：\( a=6，b=2 \) のとき
● \( a=1，2，3，4，5 \) の場合
大きいさいころの出た目の数 \( a \) と同じ個数のブロックを場所Ｐから場所Ｑに移動させるので，
小さいさいころの出た目の数 \( b \) の値が \( b=a \) のとき，
【操作１】で場所Ｐから場所Ｑに移動させたブロックをすべて場所Ｒに移動させることになり，
場所Ｑにあるブロックの個数が０個になります。
例１：\( a=2，b=2 \) のとき
小さいさいころの出た目の数 \( b \) の値が \( b=6 \) のとき，
【操作１】で移動させなかったブロックをすべて場所Ｒに移動させることになり，
場所Ｐにあるブロックの個数が０個になります。
例２：\( a=2，b=6 \) のとき
これらを踏まえて，大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の組み合わせを表に書き出し，
ブロックの数が０個になる場所があるところに ○ をつけてみると，
０個になる場所がある組み合わせは１６通り，
すべての組み合わせは３６通り
なので，求める確率は \( \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \)
大問６
右の図１は，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) を底面とし，線分 \( AC \) を母線とする円すいである。
また，点 \( D \) は線分 \( BC \) の中点である。
さらに，点 \( E \) は円 \( O \) の周上の点である。
\( AB=8 \; cm，AC=10 \; cm，∠AOE=60° \) のとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
（ア） この円すいの表面積として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
１， \( 24\pi{} \; cm^2 \) ２． \( 28\pi{} \; cm^2 \)
３． \( 40\pi{} \; cm^2 \) ４． \( 48\pi{} \; cm^2 \)
５． \( 56\pi{} \; cm^2 \) ６． \( 84\pi{} \; cm^2 \)
このおうぎ形を展開すると，
半径 \( 10 \; cm \) のおうぎ形と半径 \( 4 \; cm \) の円ができます。
半径 \( 10 \; cm \) のおうぎ形の面積は，
\( \pi{} \times 10^2 \times \dfrac{8\pi{}}{20\pi{}}=40\pi{} \; (cm^2) \)
半径 \( 4 \; cm \) の円の面積は，
\( \pi{} \times 4^2=16\pi{} \; (cm^2) \)
よって，この円すいの表面積は，\( 40\pi{}+16\pi{}=56\pi{} \; (cm^2) \)
（イ） この円すいにおいて，２点 \( D，E \) 間の距離として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
１， \( \sqrt{43} \; cm \) ２． \( 7 \; cm \)
３． \( 5\sqrt{2} \; cm \) ４． \( \sqrt{57} \; cm \)
５． \( 3\sqrt{7} \; cm \) ６． \( 8 \; cm \)
\( △DPE \) は直角三角形になるので，線分 \( DP，EP \) の長さがわかれば，
三平方の定理を使って線分 \( DE \) の長さを求めることができます。
点 \( D \) は線分 \( BC \) の中点なので，
\( △COB \) ∽ \( △DPB \)，相似比は \( 2：1 \)
になっています。
\( OB=\dfrac{1}{2}AB=4 \; cm，BC=AC=10 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
\( CO^2=10^2-4^2=84 \)
\( CO=2\sqrt{21} \; (cm) \) (\( CO>0 \) より)
\( DP=\dfrac{1}{2}CO=\sqrt{21} \; (cm) \)
点 \( E \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，交点を点 \( Q \) とすると，
\( △OQE \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になるので，
\( EQ=\dfrac{ \sqrt{3}}{2}OE=2\sqrt{3} \; (cm) \)
また，\( OQ=\dfrac{1}{2}OE=2 \; (cm)，OP=\dfrac{1}{2}OB=2 \; (cm) \) より，
\( PQ=4 \; cm \) なので，三平方の定理より，
\( EP^2=(2\sqrt{3})^2+4^2=28 \)
\( EP=2\sqrt{7} \; (cm) \) (\( EP>0 \) より)
以上より，\( △DPE \) において，三平方の定理より，
\( DE^2=\sqrt{21}^2+(2\sqrt{7})^2=49 \)
\( DE=7 \; (cm) \) (\( DE>0 \) より)
（ウ） 次の の中の「せ」「そ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
この円すいを \( CA \) で切って展開すると，右の図のようになります。
側面を展開したおうぎ形の内角は，
\( 360° \times \dfrac{8\pi{}}{20\pi{}}=144° \)
また，\( ∠AOE=60° \) より，
弧 \( AE \) の長さは円 \( O \) の円周の \( \dfrac{1}{6} \) なので，
おうぎ形の弧の長さの \( \dfrac{1}{6} \) でもあります。
ここから，\( ∠ACE=\dfrac{1}{6}∠ACA=24° \)
線分 \( AC \) を延長し，円 \( C \) との交点を \( G \) とすると，
\( ∠ACA=144° \) より，\( ∠ACG=36° \)
\( ∠ACE=24° \) より，\( ∠ECG=24°+36°=60° \)
点 \( E \) から線分 \( CG \) に垂線をひき，
交点を点 \( H \) とすると，
\( △ECI \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( CH=\dfrac{1}{2}EC=5 \; (cm) \)
\( EH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}EC=5\sqrt{3} \; (cm) \)
\( △EFH \) において，
点 \( F \) は母線 \( CA \) の中点なので，\( CF=5 \; cm \)
また，\( FH=CF+CH=10 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
\( EF^2=10^2+(5\sqrt{3})^2=175 \)
\( EF=5\sqrt{7} \; (cm) \) (\( EF>0 \) より)
