大問１
（１） 次の①～④を計算しなさい。
➀ \( 1-(-3)-9 \)
➁ \( \dfrac{2x+y}{3}-\dfrac{x-3y}{4} \)
➂ \( 2a^2b \times (-3b)^2 \div \dfrac{9}{2}a^2 \)
➃ \( \sqrt{15}+\sqrt{12} \div \sqrt{5} \)
（２） 比例式 \( (x-6)：x=4：7 \) について，\( x \) の値を求めなさい。
（３） ある生徒の３教科のテストの点数は，それぞれ \( a \) 点，\( b \) 点，\( 90 \) 点であり，その平均点は \( 72 \) 点であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。
（４） ２次方程式 \( x^2-4x+3=0 \) の２つの解の和が，\( x \) についての２次方程式 \( x^2+ax-4=0 \) の解の１つになっているとき，\( a \) の値を求めなさい。
（５） \( y \) が \( x \) に反比例するものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。
ア 定価 \( x \) 円のノートを定価の \( 30\% \) 引きで買ったとき，代金は \( y \) 円である。
イ \( 12 \; km \) の道のりを時速 \( x \; km \) で進んだとき，かかった時間は \( y \) 時間である。
ウ \( x \; mL \) のジュースを４人で均等に分けたとき，１人分のジュースの量は \( y \; mL \) である。
エ 面積が \( 15 \; cm^2 \) の三角形の底辺を \( x \; cm \) としたとき，高さは \( y \; cm \) である。
（６） ３辺の長さが \( \sqrt{10} \; cm，2\sqrt{7} \; cm，3\sqrt{2} \; cm \) である三角形は直角三角形であることを，言葉と式を使って説明しなさい。
（７） １から６までの目が出る２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げるとき，さいころＡの出た目の数を \( a \)，さいころＢの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( \dfrac{36}{a+b} \) が整数となる確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。
\( 36 \) の約数は \( 1，2，3，4，6，9，12，18，36 \) で，
\( a+b \) が取り得る値の範囲は \( 2≦a+b≦12 \) なので，
あてはまるのは \( 2，3，4，6，9，12 \) のどれかになる場合です。
２つのさいころの出た目の組み合わせと
それぞれの場合の \( a+b \) の値を表に書き出し，
\( a+b \) の値が \( 2，3，4，6，9，12 \) になるところに
○ をつけてみます。
全ての組み合わせは \( 36 \) 通り，
○ がつく組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \)
（８） 次の図のような，円 \( O \) がある。円 \( O \) の周上の点 \( P \) を通る接線を，定規とコンパスを使い，作図によって求めなさい。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
つまり，\( P \) を通る直線 \( OP \) の垂線を描けばいいことになります。
手順１ ２点 \( O，P \) を通る直線を描く。
手順２ 点 \( P \) を中心に円弧を描く。
（直線 \( OP \) との交点を \( A，B \) とします。）
手順３ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
（交点を \( C \) とします。）
手順４ ２点 \( C，P \) を通る直線を描く。
直線 \( CP \) が求める接線になります。
大問２
ある中学校の３年１組の生徒２０人の通学時間を調査した。右の【図】は，調査の結果をヒストグラムに表したもので，通学時間の平均値は \( 23.0 \) 分であった。このヒストグラムでは，例えば，通学時間が \( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満の生徒が１人いることがわかる。このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。
（１） 通学時間が \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級までの累積度数を求めなさい。
\( 30 \) 分未満の階級の度数の合計は \( 1+3+5+3+2=14 \)（人）
（２） 【図】からわかることとして適切なものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。
ア 通学時間が平均値以上の生徒は，８人未満である。
イ 通学時間の範囲は，\( 20 \) 分である。
ウ 通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.25 \) である。
エ 通学時間の第１四分位数は，度数が最も大きい階級に含まれている。
（３） ３年２組の生徒２０人についても通学時間を調査し，結果をヒストグラムに表すと，下のア～エのいずれかになった。１組と２組のヒストグラムを比較すると，次の①～③のことがわかった。このとき，３年２組のヒストグラムとして適切なものを，下のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。
① 度数が最も多い階級は，１組と２組で異なる。
➁ 階級値が \( 32.5 \) 分である階級の度数は，１組よりも２組が少ない。
③ 通学時間の中央値は１組よりも２組が小さい。
大問３
のぞみさんは，昨日の数学の授業で学習した内容について，先生と話をしている。次の【会話】は，のぞみさんと先生の会話である。また，下の【のぞみさんのノート】は，のぞみさんが文字を使って正しく説明したノートの一部である。このとき（１）・（２）の問いに答えなさい。
【会話】
先 生：昨日の授業で，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，
必ず \( 11 \) の倍数になることを，文字を使って学習しました。例えば，\( 12 \) と \( 21 \)，\( 73 \) と \( 37 \) の
和を考えると，それぞれ \( 33，110 \) となって \( 11 \) の倍数になりますね。実は，\( 12 \) と \( 21 \) を
つないだ \( 1221 \)，\( 73 \) と \( 37 \) をつないだ \( 7337 \) のような，千の位の数と一の位の数が等しく，
百の位の数と十の位の数が等しい４けたの自然数も \( 11 \) の倍数になります。
のぞみ：えっ，本当ですか。\( 1221 \) と \( 7337 \) が \( 11 \) の倍数かどうか，実際に計算して確かめてみます。
\( 1221 \) を \( 11 \) でわると \( 111，7337 \) を \( 11 \) でわると \( 667 \) になります。\( 11 \) でわり切れると
いうことは，\( 1221 \) も \( 7337 \) も確かに \( 11 \) の倍数ですね。これが必ず成り立つことを，
昨日学習したように，文字を使って説明してみます。
【のぞみさんのノート】
４けたの自然数の千の位の数と一の位の数を \( x \)，百の位の数と十の位の数を \( y \) とすると
４けたの自然数は ア \( x+ \) イ \( y+10y+x \)
と表される。
このとき，
ア \( x+ \) イ \( y+10y+x \)
\( = \) ウ \( x+ \) エ \( y \)
\( =11( \) オ \( ) \)
オ は整数であるから，\( 11( \) オ \( ) \) は \( 11 \) の倍数である。
したがって，千の位の数と一の位の数が等しく，百の位の数と十の位の数が等しい４けた
の自然数は \( 11 \) の倍数になる。
（１） ア ～ エ に当てはまる数と， オ に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。
（２） ２けたの自然数には，その数から，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数をひくと \( 36 \) になるものがいくつかあるが，このような２けたの自然数のうち，最も大きな自然数は \( 95 \) である。このことを，もとの自然数の十の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) として，文字を使って説明しなさい。
大問４
ある道の駅で，自転車の貸し出しを行っている。次の表は，自転車の貸し出しの料金表である。この道の駅では，借りる日の前日までに予約をすると，自転車１台につき基本料金を \( 100 \) 円値引きしている。このとき，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。
（１） 普通自転車 \( a \) 台と子供用自転車 \( b \) 台を２時間半，予約をせずに当日借りたところ，料金の合計は \( 5000 \) 円以下であった。この数量の関係を不等式で表しなさい。
（２） サイクリングに行く計画を立て，サイクリングの前日までに普通自転車４台，子供用自転車６台の合計１０ 台の自転車を予約した。当日になって，新たに普通自転車と子供用自転車をそれぞれ何台か借り，合計１６台でサイクリングをした。１０時から１５時まで自転車を借りたときの，料金の合計が \( 10000 \) 円だったとき，当日新たに借りた普通自転車と子供用自転車の台数をそれぞれ求めなさい。
大問５
下の図において，ア は関数 \( y=x^2 \) のグラフ，イ は関数 \( y=ax^2 \;\; (0<a<1) \) のグラフである。点 \( A \) はアのグラフ上にあり，点 \( B \) の座標は \( (0，1) \) で，点 \( C \) と点 \( D \) はイのグラフ上にある。また，点 \( A \) と点 \( C \) の \( x \) 座標は等しく，点 \( D \) の \( x \) 座標は点 \( C \) の \( x \) 座標より大きい。このとき，次の（１）・（２）の問いに答えなさい。
（１） 点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 2 \) であり，点 \( B \) と点 \( C \) の \( y \) 座標が等しいとき，次の①，②の問いに答えなさい。
① \( a \) の値を求めなさい。
点 \( C \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 2 \)
なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができます。
点 \( B \) と点 \( C \) の \( y \) 座標が等しいとき，
点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 1 \) なので，
\( 4a=1 \)
\( a=\dfrac{1}{4} \)
② 四角形 \( OCAB \) の面積を求めなさい。
点 \( A \) は \( y=x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 2 \) なので，\( y \) 座標は
\( y=2^2=4 \)
になります。
また，点 \( B \) と点 \( C \) の \( y \) 座標が等しいとき，
点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 1 \) です。
四角形 \( OCAB \) は \( OB//CA \) の台形なので，
面積は，
\( (1+3) \times 2 \times \dfrac{1}{2}=4 \)
（２） 点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 4 \) とする。点 \( A \) と点 \( B \)，点 \( B \) と点 \( C \)，点 \( C \) と点 \( D \)，点 \( D \) と点 \( A \) をそれぞれ結ぶと，平行四辺形になった。このとき，\( a \) の値を求めなさい。
点 \( A \) の座標は \( A(4,16) \)，点 \( C \) の座標は \( C(4,16a) \) になります。
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，対角線の交点を \( M \) とすると，
\( M \) は線分 \( AC \) の中点なので，\( y \) 座標は \( \dfrac{16a+16}{2} \) ･･･ ➀ と表すことができます。
また，\( M \) は線分 \( BD \) の中点でもあり，
点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 0 \)，点 \( M \) の \( x \) 座標は \( 4 \) なので，
点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 8 \) になります。
点 \( D \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 8 \) なので，
\( y \) 座標は \( 64a \) と表すことができます。
このとき，点 \( B \) の \( y \) 座標は \( 1 \) であることから，
\( M \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1+64a}{2} \) ･･･ ➁ と表すことができます。
➀➁より，
\( \dfrac{16a+16}{2}=\dfrac{1+64a}{2} \)
\( 16a+16=1+64a \)
\( 48a=15 \)
\( a=\dfrac{5}{16} \)
大問６
右の図のように，正三角形 \( ABC \) の辺 \( AB \) 上に \( AD>DB \) となる点 \( D \)，辺 \( AC \) 上に \( AE>EC \) となる点 \( E \) をとり，線分 \( DE \) を折り目として頂点 \( A \) を折り返し，頂点 \( A \) が移った点を \( F \) とする。また，辺 \( BC \) と線分 \( DF \) との交点を \( G \)，辺 \( BC \) と線分 \( EF \) との交点を \( H \) とする。このとき，次の（１）・（２）の問いに答えなさい。
（１） \( △BGD \) ∽ \( △FGH \) を証明しなさい。
\( △BGD \) と \( △FGH \) において，
正三角形の内角なので，
\( ∠GBD=∠GFH=60° \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，
\( ∠BGD=∠FGH \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △BGD \) ∽ \( △FGH \)
参考：点 \( A \) と点 \( F \) は折り返す前後の点なので，
\( ∠BAC=∠GFH=60° \)
（２） 正三角形 \( ABC \) の１辺の長さを \( 16 \; cm \) とし，三角形 \( BGD \) の３辺の長さを，\( BG=8 \; cm，GD=7 \; cm，DB=5 \; cm \) とする。このとき，線分 \( CE \) の長さを求めなさい。
同様の考え方から，\( △FGH \) ∽ \( △CEH \) でもあることもわかります。
\( △BGD \) の３辺の長さはわかっているので，\( △FGH \) のどれか１辺の長さがわかれば，
\( CE \) の長さを求めることができます。
\( AB=16 \; cm，DB=5 \; cm \) より，\( AD=11 \; cm \) であり，
\( FD=AD=11 \; cm ，GD=7 \; cm \) なので，
\( FG=4 \; cm \) になっています。
（１）より，\( △BGD \) ∽ \( △FGH \) なので，
\( BG：FG= 8：4 \) であり，相似比は \( 2：1 \) です。
ここから，
\( DG：HG=2：1 \)
\( 7：HG=2：1 \)
\( HG=\dfrac{7}{2} \; (cm) \)
\(BD：FH=2：1 \)
\( 5：FH=2：1 \)
\( FH=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)
また，\( △FGH \) ∽ \( △CEH \) でもあり，
\( AB=16 \; cm，BG=8 \; cm，HG=\dfrac{7}{2} \; cm \) より，
\( CH=\dfrac{9}{2} \; cm \) になっています。
ここから，\( FH：CH=\dfrac{5}{2}：\dfrac{9}{2} \) より，
相似比は \( 5：9 \) であり，
\( FG：CE=5：9 \)
\( 4：CE=5：9 \)
\( CE=\dfrac{36}{5} \; (cm) \)
