大問１
１ \( 3-(-5) \) を計算しなさい。
２ \( 8a^3b^2 \div 6ab \) を計算しなさい。
３ \( (x+3)^2 \) を展開しなさい。
４ １個 \( x \) 円のパンを７個と１本 \( y \) 円のジュースを５本買ったところ，代金の合計が２０００円以下になった。この数量の関係を不等式で表しなさい。
５ 右の図の立方体 \( ABCD－EFGH \) において，辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺の数はいくつか。
どこまでいっても交わらない直線のうち，平行ではないもの
なので，\( DH，CG，EH，FG \) の４つになります。
６ \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-2 \) のとき \( y=8 \) である。\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
７ 右の図において，点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の周上の点である。
\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
\( 360°-134°=226° \)
よって，円周角は中心角の半分になるので，
\( ∠x=\dfrac{1}{2} \times 226°=113° \)
８ \( △ABC \) と \( △DEF \) は相似であり，その相似比は \( 3：5 \) である。このとき，\( △DEF \) の面積は \( △ABC \) の面積の何倍か求めなさい。
大問２
１ ２次方程式 \( x^2+4x+1=0 \) を解きなさい。
２ ある高校では，中学生を対象に一日体験学習を各教室で実施することにした。使用できる教室の数と参加者の人数は決まっている。１つの教室に入る参加者を１５人ずつにすると，３４人が教室に入れない。また，１つの教室に入る参加者を２０人ずつにすると，１４人の教室が１つだけでき，さらに使用しない教室が１つできる。
このとき，使用できる教室の数を \( x \) として方程式をつくり，使用できる教室の数を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。
３ 次の先生と生徒の会話文を読んで，下の 内の生徒が完成させた【証明】の ➀ から ➄ に当てはまる数や式をそれぞれ答えなさい。
先生 「一の位が \( 0 \) でない \( 900 \) 未満の３けたの自然数を \( M \) とし，\( M \) に \( 99 \) をたしてできる
自然数を \( N \) とすると，\( M \) の各位の数の和と \( N \) の各位の数の和は同じ値になるという
性質があります。例として \( 583 \) で確かめてみましょう。」
生徒 「 \( 583 \) の各位の数の和は \( 5+8+3=16 \) です。\( 583 \) に \( 99 \) をたすと \( 682 \) となるので，
各位の数の和は \( 6+8+2=16 \) で同じ値になりました。」
先生 「そうですね。それでは，\( M \) の百の位，十の位，一の位の数をそれぞれ \( a，b，c \) として，
この性質を証明してみましょう。\( a，b，c \) のとりうる値の範囲に気をつけて，\( M \) と \( N \) を
それぞれ \( a，b，c \) を用いて表すとどうなりますか。」
生徒 「 \( M \) は表せそうですが，\( N \) は \( M+99 \) で･･･，各位の数がうまく表せません。」
先生 「 \( 99 \) を \( 100-1 \) におきかえて考えてみましょう。」
３けたの自然数 \( M \) の百の位，十の位，一の位の数をそれぞれ \( a，b，c \) とすると，\( a \) は \( 1 \) 以上 \( 8 \) 以下の整数，\( b \) は \( 0 \) 以上 \( 9 \) 以下の整数，\( c \) は \( 1 \) 以上 \( 9 \) 以下の整数となる。
このとき，
\( M= \) ➀ \( \times \;\; a \;\; + \) ➁ \( \times \;\; b \;\; + \;\; c \) と表せる。
また，\( N=M+99 \) より
\( N= \) ➀ \( \times \;\; a \;\; + \) ➁ \( \times \;\; b \;\; + \;\; c \;\; + \;\; 100 \;\; – \;\; 1 \) となるから
\( N= \) ➀ \( \times \;\; ( \) ➂ \( ) \;\; + \) ➁ \( \times \) ➃ \( + \) ➄ となり，
\( N \) の百の位の数は ➂ ，十の位の数は ➃ ，一の位の数は ➄ となる。
よって， \( M \) の各位の数の和と \( N \) の各位の数の和はそれぞれ \( a+b+c \) となり，同じ値になる。
大問３
１ 右の図の \( △ABC \) において，辺 \( AC \) 上にあり，\( ∠ABP=30° \) となる点 \( P \) を作図によって求めなさい。ただし，作図には定規とコンパスを使い，また，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ 点 \( A，B \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描く
（交点を点 \( D \) とします）
手順２ 点 \( B \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( E，F \) とします）
手順３ 点 \( E，F \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( G \) とします）
手順４ ２点 \( B，G \) を通る直線を描く
手順４の直線と辺 \( AC \) との交点が求める点 \( P \) になります。
２ 右の図は，\( AB=2 \; cm，BC=3 \; cm，CD=3 \; cm， \)
\( ∠ABC=∠BCD=90° \) の台形 \( ABCD \) である。
このとき，次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( AD \) の長さを求めなさい。
点 \( A \) から線分 \( CD \) に垂線をひき，交点を \( E \) とすると，
\( AE=3 \; cm，DE=1 \; cm \) なので，三平方の定理より，
\( AD^2=3^2+1^2=10 \)
\( AD=\sqrt{10} \; (cm) \)（ \( AD>0 \) より）
(2) 台形 \( ABCD \) を，辺 \( CD \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
台形 \( ABCD \) を，辺 \( CD \) を軸として１回転させてできる立体は，
右の図のように，
「半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 2 \; cm \) の円柱」と
「半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 1 \; cm \) の円すい」
をくっつけたものになります。
円柱の体積 \( =\pi{} \times 3^2 \times 2=18\pi{} \; (cm^3) \)
円すいの体積 \( =\pi{} \times 3^2 \times 1 \times \dfrac{1}{3}=3\pi{} \; (cm^3) \)
よって，求める体積は，\( 18\pi{}+3\pi{}=21\pi{} \; (cm^3) \)
３ 右の図のように，正方形 \( ABCD \) の辺 \( BC \) 上に点 \( E \) をとり，頂点 \( B，D \) から線分 \( AE \) にそれぞれ垂線 \( BF，DG \) をひく。
このとき，\( △ABF≡△DAG \) であることを証明しなさい。
\( △ABF \) と \( △DAG \) において，
正方形のすべての辺の長さは等しいので，\( AB=DA \) ･･･ ①
仮定より，\( ∠AFB=∠DGA=90° \) ･･･ ➁
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
\( ∠ABF=180°-(90°+∠BAF) \)
\( =90°-∠BAF \) ･･･ ➂
正方形の内角はすべて \( 90° \) なので，
\( ∠DAG=90°-∠BAF \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠ABF=∠DAG \) ･･･ ➄
①➁➄より，斜辺と他の１鋭角が等しい直角三角形なので，
\( △ABF≡△DAG \)
大問４
１ ５人の生徒 \( A，B，C，D，E \) がいる。これらの生徒の中から，くじびきで２人を選ぶとき，\( D \) が選ばれる確率を求めなさい。
\( D \) が含まれる組み合わせは４通り，すべての組み合わせは１０通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} \)
２ 右の表は，あるクラスの生徒 \( 35 \) 人が水泳の授業で \( 25 \; m \) を泳ぎ，タイムを計測した結果を度数分布表にまとめたものである。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数を求めなさい。
(2) 度数分布表における，最頻値を求めなさい。
３ 下の図は，ある中学校の３年生１００人を対象に２０点満点の数学のテストを２回実施し，１回目と２回目の得点のデータの分布のようすをそれぞれ箱ひげ図にまとめたものである。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) 箱ひげ図から読み取れることとして正しいことを述べているものを，次の ア，イ，ウ，エ の中から２つ選び，記号で答えなさい。
ア 中央値は，１回目よりも２回目の方が大きい。
イ 最大値は，１回目よりも２回目の方が小さい。
ウ 範囲は，１回目よりも２回目の方が大きい。
エ 四分位範囲は，１回目よりも２回目の方が小さい。
(2) 次の文章は，「１回目のテストで８点を取った生徒がいる」ことが正しいとは限らないことを説明したものである。 に当てはまる文を，特定の２人の生徒に着目して書きなさい。
箱ひげ図から，１回目の第１四分位数が８点であることがわかるが，８点を取った生徒がいない場合も考えられる。例えば，テストの得点を小さい順に並べたときに， の場合も，第１四分位数が８点となるからである。
大問５
１ 右の図のように，２つの関数 \( y=5x，y=2x^2 \) のグラフ上で， \( x \) 座標が \( t \; (t>0) \) である点をそれぞれ \( A，B \) とする。\( B \) を通り \( x \) 軸に平行な直線が，関数 \( y=2x^2 \) のグラフと交わる点のうち，\( B \) と異なる点を \( C \) とする。また，\( C \) を通り \( y \) 軸に平行な直線が，関数 \( y=5x \) のグラフと交わる点を \( D \) とする。
このとき，次の (1)，(2)，(3) の問いに答えなさい。
(1) 関数 \( y=2x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦5 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。
(2) \( t=2 \) のとき，\( △OAC \) の面積を求めなさい。
点 \( B \) は \( y=2x^2 \) 上の点で，\( x=2 \) なので，
\( y=2 \times 2^2=8 \)
点 \( C \) は \( y=2x^2 \) 上の点で，
点 \( B \) と \( y \) 座標の値が等しいので，
\( x \) 座標の値は，点 \( B \) の \( x \) 座標の符号を入れ替えたものとなり，\( x=-2 \)
点 \( A \) は \( y=5x \) 上の点で，\( x=2 \) なので，
\( y=5 \times 2=10 \)
さらに，右の図のように点 \( E，F，G \) をとると，
\( E(-2，0)，F(2，0)，G(-2，10) \) となります。
\( △OAC \) の面積は，
四角形 \( EFAG-(△AGC+△CEO+△AFO) \)
で求めることができるので，
四角形 \( EFAG=4 \times 10=40 \)
\( △AGC=4 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=4 \)
\( △CEO=2 \times 8 \times \dfrac{1}{2}=8 \)
\( △AFO=2 \times 10 \times \dfrac{1}{2}=10 \)
より，
\( △OAC=40-(4+8+10)=18 \)
(3) \( BC：CD=1：4 \) となるとき，\( t \) の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。
点 \( B \) は \( y=2x^2 \) 上の点なので，
\( x \) 座標の値が \( t \) のときの \( y \) 座標の値は，
\( 2t^2 \) と表すことができます。
点 \( C \) も \( y=2x^2 \) 上の点で，
\( y \) 座標の値は点 \( B \) と等しいので，
\( x \) 座標の値は \( -t \) と表すことができます。
点 \( D \) は \( y=5x \) 上の点で，
\( x \) 座標の値は \( -t \) なので，
\( y \) 座標の値は，\( -5t \) と表すことができます。
このとき，
\( BC=t-(-t)=2t \)
\( CD=2t^2-(-5t)=2t^2+5t \)
なので，
\( BC：CD=1：4 \)
\( 2t：(2t^2+5t)=1：4 \)
\( 2t^2+5t=8t \)
\( 2t^2-3t=0 \)
\( t(2t-3)=0 \)
\( t=0，\dfrac{3}{2} \)
\( t>0 \) より，あてはまるのは，\( t=\dfrac{3}{2} \)
２ ある日の放課後，前田さんは友人の後藤さんと図書館に行くことにした。学校から図書館までの距離は \( 1650 \; m \) で，その間に後藤さんの家と前田さんの家がこの順に一直線の道沿いにある。
２人は一緒に学校を出て一定の速さで \( 6 \) 分間歩いて，後藤さんの家に着いた。後藤さんが家で準備をするため，２人はここで別れた。その後，前田さんは毎分 \( 70 \; m \) の速さで8分間歩いて自分の家に着き，家に着いてから \( 5 \) 分後に毎分 \( 70 \; m \) の速さで図書館に向かった。
右の図は，前田さんが図書館に着くまでのようすについて，学校を出てからの時間を \( x \) 分，学校からの距離を \( y \; m \) として，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。
このとき，次の (1)，(2)，(3) の問いに答えなさい。
(1) ２人が学校を出てから後藤さんの家に着くまでの速さは毎分何 \( m \) か。
(2) 前田さんが後藤さんと別れてから自分の家に着くまでの\( x \) と \( y \) の関係を式で表しなさい。
ただし，途中の計算も書くこと。
(3) 後藤さんは準備を済ませ，自転車に乗って毎分 \( 210 \; m \) の速さで図書館に向かい，図書館まで残り \( 280 \; m \) の地点で前田さんに追いついた。後藤さんが図書館に向かうために家を出たのは，家に着いてから何分何秒後か。
追いついた場所は，学校から \( 1650-280=1370 \; (m) \) の地点なので，
後藤さんが自転車で進んだ状態を表す直線（赤の直線）は \( (25，1370) \) を通ります。
後藤さんは毎分 \( 210 \; m \) の速さで進んだので，
この直線の式を \( y=210x+b \) とし，
\( x=25，y=1370 \) を代入すると，
\( 1370=210 \times 25+b \)
\( b=-3880 \)
よって，この直線の式は \( y=210x-3880 \)
ここに， 後藤さんの家の場所を表す \( y=390 \) を代入すると，
\( 390=210 \times x-3880 \)
\( 210x=4270 \)
\( x=\dfrac{61}{3} \)
となり，後藤さんが家を出たのは，学校を出てから \( \dfrac{61}{3} \) 分後であるとわかります。
後藤さんが家に着いたのは学校を出てから \( 6 \) 分後なので，
家に着いてからの時間は \( \dfrac{61}{3}-6=\dfrac{43}{3}=14+\dfrac{1}{3} \) 分後
\( \dfrac{1}{3} \) 分を秒に換算すると，\( \dfrac{1}{3} \times 60=20 \) 秒なので，
求める時間は \( 14 \) 分 \( 20 \) 秒後になります。
大問６
１辺の長さが \( n \; cm \)（\( n \) は２以上の整数）の正方形の板に，図１のような１辺の長さが \( 1 \; cm \) の正方形の黒いタイル，または斜辺の長さが \( 1 \; cm \) の直角二等辺三角形の白いタイルを貼る。板にタイルを貼るときは，黒いタイルを１枚使う【貼り方Ⅰ】，または白いタイルを４枚使う【貼り方Ⅱ】を用いて，タイルどうしが重ならないように板にすき間なくタイルをしきつめることとする。
例えば， \( n=3 \) の場合について考えるとき，図２は黒いタイルを７枚，白いタイルを８枚，合計１５枚のタイルを使って板にタイルをしきつめたようすを表しており，図３は黒いタイルを４枚，白いタイルを２０枚，合計 ２４枚のタイルを使って板にタイルをしきつめたようすを表している。
このとき，次の１，２，３の問いに答えなさい。
１ \( n=4 \) の場合について考える。白いタイルだけを使って板にタイルをしきつめたとき，使った白いタイルの枚数を求めなさい。
\( n=4 \) の場合，板は１辺 \( 4 \; cm \) の正方形なので，
１６マス分の大きさになります。
１マスに使う白いタイルの枚数は \( 4 \) 枚なので，
板全体を埋めるのに使った白いタイルの枚数は，
\( 4 \times 16=64 \)（枚）
になります。
２ \( n=5 \) の場合について考える。黒いタイルと白いタイルを合計 ( 49 \) 枚使って板にタイルをしきつめたとき，使った黒いタイルと白いタイルの枚数をそれぞれ求めなさい。
表として書いてみます。
すべて黒いタイルを使ったとき，使う枚数は \( 25 \) 枚になります。
ここから，黒いタイルを \( 1 \) 枚減らして白いタイルにおきかえると，
黒いタイルを \( 24 \) 枚，白いタイルを \( 1 \times 4=4 \) 枚で，合計 \( 28 \) 枚使うことになります。
また，黒いタイルを \( 2 \) 枚減らして白いタイルにおきかえると，
黒いタイルを \( 23 \) 枚，白いタイルを \( 2 \times 4=8 \) 枚で，合計 \( 31 \) 枚使うことになります。
このように，黒いタイルの枚数が \( 1 \) 枚減るごとに合計のタイルの枚数は \( 3 \) 枚ずつ増えています。
よって，合計のタイルの枚数が \( 49-25=24 \) 枚増えるのは，
黒いタイルの枚数が \( 24 \div 3=8 \) 枚減ったときなので，
黒いタイルが \( 25-8=17 \) 枚，白いタイルを \( 8 \times 4=32 \) 枚使うときになります。
３ 次の文章の ➀ ， ➁ ， ➂ に当てはまる式や数をそれぞれ求めなさい。ただし，文章中の \( a \) は \( 2 \) 以上の整数，\( b \) は \( 1 \) 以上の整数とする。
\( n=a \) の場合について考える。はじめに，黒いタイルと白いタイルを使って板にタイルをしきつめたとき，使った黒いタイルの枚数を \( b \) 枚とすると，使った白いタイルの枚数は \( a \) と \( b \) を用いて ➀ 枚と表せる。
次に，この板の【貼り方Ⅰ】のところを【貼り方Ⅱ】に，【貼り方Ⅱ】のところを【貼り方Ⅰ】に変更した新しい正方形の板を作った。このときに使ったタイルの枚数の合計は，はじめに使ったタイルの枚数の合計よりも２２５枚少なくなった。これを満たす \( a \) のうち，最も小さい値は ➁ ，その次に小さい値は ➂ である。
