宮城県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

長方形を１辺を軸に回転させると円柱になるので，
求める立体は，長方形 \( ABCD \) を回転させた円柱
から長方形 \( EGFD \) を回転させた円柱を
くりぬいた形になります。

長方形 \( ABCD \) を回転させた円柱は，
底面の半径が \( 4 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) なので，
体積は，
　\(  \pi{}  \times 4^2 \times 6=96\pi{} \; (cm^3) \)

長方形 \( EGFD \) を回転させた円柱は，
底面の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 5 \; cm \) なので，
体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 5=45\pi{} \; (cm^3) \)

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそのときの \( a+b \) の値を
表に書き出し，\( 6 \) になるところに ○ をつけてみます。
\( a+b=6 \) となる組み合わせは５通り，
すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{5}{36} \)

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそのときの \( \dfrac{b+1}{a} \) の値を
表に書き出し，整数になるところに ○ をつけてみます。
整数となる組み合わせは１４通り，
すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \)

線分 \(OB，OC\) は，ともに半径なので，
\( △OBC \) は二等辺三角形であり，
　\( ∠OCB=∠OBC=28° \)

また，\( ∠AEC \) は，\( △BCE \) の外角なので，
　\( ∠AEC=∠EBC+∠ECB \)
　　　　　\( =28°+(37°+28°) \)
　　　　　\( =93° \)

\( ∠DCB=37°+28°=65° \) で，
\( ∠DCB \) は  \( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) に対する円周角，
\( ∠DOB \) は  \( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) に対する中心角なので，
　\( ∠BOD=2 \times 65°=130° \)

よって，\( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) の長さは，
　\( \pi{} \times 6 \times \dfrac{130°}{360°}=\dfrac{13}{6}\pi{} \; (cm) \)

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 4^2=8 \)
よって，点 \( A \) の座標は，\( A(4，8) \)

点 \( B \) の座標は，点 \( A \) と \( y \) 座標の値が等しく，
\( x \) 座標の絶対値は等しいので，\( B(-4，8) \)

点 \( C \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
\( y=ax^2 \) は，\( y \) 軸について対称な形なので，
点 \( D \) の \( x \) 座標の値は \( -t \) と表せます。

このとき，\( DC=t-(-t)=2t，CA=4-t \) と表すことができるので，
　\( DC=CA \)
　　\( 2t=4-t \)
　　 \( t=\dfrac{4}{3} \)

１回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( 2 \times 4=8 \)（個）
３回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( (2+6) \times 4=32 \)（個）
５回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( (2+6+10) \times 4=72 \)（個）
となるので，
（　　　）の中に入る項の数が１個ずつ増え，
その項の値は \( 4 \) ずつ増えていることがわかります。

ここから，
１１回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
\( (2+6+10+14+18+22) \times 4=288 \)（個）

\( △ADF \) と \( △DBE \) において，
点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点なので，
　\( AD=DB \) ･･･ ➀
仮定より，
　\( AF=DE \) ･･･ ➁
\( AF//DE \) より，同位角は等しいので，
　\( ∠FAD=∠EDB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADF≡△DBE \)

\( △ECG \) と \( △FAC \) において，
中点連結定理より，\( BC//DE \)
仮定より，\( AF//DE \)
ここから，\( BC//AF \)
錯角は等しいので，\( ∠ECG=∠FAC \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠CGE=∠ACF \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ECG \) ∽ \( △FAC \)

\( EC=\dfrac{1}{2}AC=4 \; (cm) \)
\( AF=DE=\dfrac{1}{2}BC=5 \; (cm) \)
なので，
　\( CG：CA=EC：FA \)
　　\( CG：8=4：5 \)
　　　 \( CG=\dfrac{32}{5} \; (cm) \)

【\( △AGE \) と \( △ABC \) の面積比】
\( △AGE \) の底辺を線分 \( AE \)，
\( △CGE \) の底辺を線分 \( EC \)
と考えると，２つの三角形は高さが共通なので，
\( AE=EC \) より，\( △AGE=△CGE \) であり，
\( △AGE \) の面積を「８」とすると，
\( △CGE \) の面積も「８」になります。

\( △ABG \) の底辺を線分 \( BG \)，
\( △ACG \) の底辺を線分 \( GC \)
と考えると２つの三角形は高さが共通なので，
　\( △ABG：△ACG=BG：GC \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{18}{5}：\dfrac{32}{5} \)
　　　　　　　　　　 \( =9：16 \)
になっています。

【\( △ABC \) の面積】
点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( H \) とします。
\( CH=x \; cm \) とすると，
\( BH=10-x \; cm \) と表せます。

\( △ABH \) と \( △ACH \) は，\( AH \) が共通なので，
三平方の定理より，
　　　\( AB^2-BH^2=AC^2-CH^2 \)
　\( 12^2-(10-x)^2=8^2-x^2 \)
　\( -x^2+20x+44=64-x^2 \)
　　　　　　　 \( 20x=20 \)
　　　　　　　　 \( x=1 \; (cm) \)
ここから，
　\( AH^2=AC^2-CH^2 \)
　　　　\( =8^2-1^2 \)
　　　　\( =63 \)
　 \( AH=3\sqrt{7} \; (cm) \) (\( AH>0 \) より)
よって，
　\( △ABC=10 \times 3\sqrt{7} \times \dfrac{1}{2}=15\sqrt{7} \; (cm^2) \)