２２
大問１
（１） \( 3+(-7) \) を計算しなさい。
（２） \( \dfrac{4}{3} \div \left( -\dfrac{5}{12} \right) \) を計算しなさい。
（３） \( x \) 枚の折り紙を，１人に \( 10 \) 枚ずつ \( y \) 人に配ると \( 4 \) 枚余る。このときの数量の関係を等式に表しなさい。
（４） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
4x+7y=-2 \\
3x-2y=13 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。
（５） \( a=15，b=6 \) のとき，次の式の値を求めなさい。
\( a^2-4ab+4b^2 \)
（６） ２つのさいころを同時に投げるとき，次のアとイでは，どちらの方が起こりやすいといえますか。起こりやすい方の記号と確率を答えなさい。
ただし，２つのさいころの１から６の目は，どの目が出ることも同様に確からしいとする。
ア 出る目の数の和が \( 6 \) である
イ 出る目の数の積が \( 6 \) である
【出る目の数の和が \( 6 \) である確率】
さいころＡ，Ｂの出る目の組み合わせを表にすると，
和が \( 6 \) になる組み合わせは \( 5 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
おこる確率は \( \dfrac{5}{36} \)
【出る目の数の積が \( 6 \) である確率】
さいころＡ，Ｂの出る目の組み合わせを表にすると，
積が \( 6 \) になる組み合わせは \( 4 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
おこる確率は \( \dfrac{4}{36} \)
よって，「ア 出る目の数の和が \( 6 \) である」の方が起こりやすいといえます。
（７） 右の図は，ある地域の２０１０年３月と２０２４年３月の日平均気温をもとに，横軸を気温，縦軸を相対度数として度数分布多角形に表したものである。
これらの度数分布多角形から，「日平均気温は，２０１０年３月より２０２４年３月の方が高い傾向にある」と主張することができる。このように主張することができる理由を，２つの度数分布多角形の特徴を比較して説明しなさい。
（８） 図Ⅰのような半円の形をしたピザがある。瑞希さんは，包丁を使ってピザを６等分するためには，ピザのどの部分に切れ目を入れればよいか考え，図Ⅱをかいて調べることにした。
図Ⅱにおいて，点 \( O \) は半円の中心，線分 \( AB \) は半円の直径を表している。点 \( O \) を通り，線分 \( OA \) の方から順番に切れ目を入れていくとき，１つ目の切れ目にあたる直線 \( OP \) を，コンパスと定規を使って作図しなさい。作図に用いたは線は消さずに残しておくこと。
ただし, 点 \( P \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) との交点とする。
手順１ 点 \( A \) を中心に線分 \( OA \) を半径とする
円弧を描く
（ \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) との交点を \( C \) とします。）
手順２ ２点 \( O，C \) を通る直線を描く
手順３ 点 \( O \) を中心に円弧を描く
（ 線分 \( OA \)，直線 \( OC \) との交点を \( D，E \) とします。）
手順４ ２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く
（ 交点を \( F \) とします。）
手順５ ２点 \( O，F \) を通る直線を描く
手順５の直線と \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) との交点が求める点 \( P \) になります。
\( 30° \) は \( 60° \) の半分の大きさであることに注目し，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上に \( ∠AOC=60° \) となるような点 \( C \) をとると，
\( OA，OC \) はどちらも半円の半径なので，
\( △OAC \) は内角の１つが \( 60° \) の二等辺三角形，つまり，正三角形になります。
ここから，正三角形 \( OAC \) を作図し，
さらに，\( ∠AOC \) の二等分線を作図することで，
\( ∠AOP=30° \) となるような直線 \( OP \) を作図することができます。
なお，正三角形 \( OAC \) を作図するためには，
点 \( A \) を中心に線分 \( OA \) を半径とする円弧を描くことで，
\( OA=AC \) となるような点 \( C \) を求めることができます。
大問２
図Ⅰのような \( AD=3 \; cm，BC=2 \; cm，DC=5 \; cm \)，\( AD//BC \) の台形 \( ABCD \) がある。また，図Ⅱは，図Ⅰを直線 \( AB \) を回転の軸として１回転させてできる立体である。
このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
１ 次のア～エの立体について，回転体とみることができないものを１つ選び，記号で答えなさい。
ア 円柱 イ 四角柱 ウ 円錐 エ 球
また，回転体には曲面が必ず含まれます。
【イ 四角柱】は６つの面がすべて平面（四角形）でできているので回転体ではありません。
ア 円柱 ･･･ 長方形の１辺を直線 \( l \) を軸として１回転させた立体
ウ 円錐 ･･･ 直角三角形の直角をなす１辺を含む直線 \( l \) を軸として１回転させた立体
エ 球 ･･･ 半円の直径部分を含む直線 \( l \) を軸として１回転させた立体
２ 図Ⅱの立体について，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
（１） 線分 \( AB \) の長さを求めなさい。
台形 \( ABCD \) において，点 \( C \) から辺 \( AD \) に垂線をひいた交点を \( E \) とすると，
\( AB⊥AD，BC//AD \) より，
\( AE=BC=2 \; cm \) なので，\( ED=1 \; cm \) に
なっています。
直角三角形 \( CDE \) において，三平方の定理より，
\( CE^2=5^2-1^2=24 \)
\( CE=2\sqrt{6} \; (cm) \)（\( CE>0 \) より）
\( AB⊥AD，CE⊥AD \) より，\( AB=CE=2\sqrt{6} \; cm \)
（２） 体積を求めなさい。
大きい円すいの頂点を \( P \) とすると，
\( △PBC \) ∽ \( △PAD \) であり，
\( PB=h \; cm \) とすると，
\( AD=3 \; cm，BC=2 \; cm \) より，
\( PB：PA=BC：AD \)
\( h：(h+2\sqrt{6})=2：3 \)
\( 3h=2h+4\sqrt{6} \)
\( h=4\sqrt{6} \; (cm) \)
大きい円すいの体積を \( V_1 \) とすると，
\( V_1=(\pi{} \times 3^2) \times (4\sqrt{6}+2\sqrt{6}) \times \dfrac{1}{3} \)
\( =18\sqrt{6}\pi{} \; (cm^3) \)
小さい円すいの体積を \( V_2 \) とすると，
\( V_2=(\pi{} \times 2^2) \times 4\sqrt{6} \times \dfrac{1}{3} \)
\( =\dfrac{16\sqrt{6}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)
図Ⅱの立体の体積を \( V \) とすると，
\( V=V_1-V_2 \)
\( =18\sqrt{6}\pi{}-\dfrac{16\sqrt{6}}{3}\pi{} \)
\( =\dfrac{38\sqrt{6}}{3}\pi{} \; (cm^3) \)
３ 図Ⅲは，直線 \( l \) をひいた平らな床の上に，図Ⅱの立体を置いたものである。直線 \( l \) と立体の線分 \( DC \) は重なっており，この状態から矢印の方向に立体をすべらないように転がすと，立体は床の上を転がり続けて，もとの位置に戻った。
このとき，立体はもとの位置に戻るまでに何回転したか求めなさい。
ただし，立体が転がるときの立体の変形は考えないものとする。
図Ⅲの状態から図Ⅱの立体を転がしたとき，立体の側面は右の図の灰色の部分を動きます。
また，このときできる円の中心は２の大きい円すいの頂点 \( P \) にあたる点になります。
右の図の大きい円の円周の長さは，図Ⅱの立体の円 \( A \) の円が転がった長さと等しくなります。
\( PC=r \; cm \) とすると，２の \( △PBC \) と \( △PAD \) において，
\( PC：PD=BC：AD \)
\( r：(r+5)=2：3 \)
\( 3r=2r+10 \)
\( r=10 \; (cm) \)
であり，右の図の大きい円の円周の長さは，
\( 2 \times \pi{} \times (10+5)=30\pi{} \; (cm) \)
図Ⅱの立体を転がしてもとの位置に戻るまでに \( n \) 回転したとすると，
図Ⅱの立体の円 \( A \) が転がった長さは，
\( 2 \times \pi{} \times 3 \times n=6\pi{}n \; (cm) \)
と表すことができます。
よって，
\( 6\pi{}n=30\pi{} \)
\( n=5 \)（回転）
大問３
浩太さんと陽香さんは，カレンダーに並んでいる整数を正方形で囲み，その整数の和には，どんな性質があるか調べることにした。
このとき，後の１～３の問いに答えなさい。
１ 浩太さんは，図Ⅰのように，ア～ウの正方形で４つの整数を囲んだ。次の【会話Ⅰ】は，それぞれの整数の和について，陽香さんと話し合っている場面である。【会話Ⅰ】の下線部について，後の（１），（２）の問いに答えなさい。
【会話Ⅰ】
浩太：アの正方形は，４つの整数が \( 1，2，8，9 \) だから，その和は \( 1+2+8+9=20 \) だね。
陽香：同じように考えると，イの整数の和は \( 32 \) で，ウの整数の和は \( 108 \) だから，正方形で囲まれた
４つの整数の和は，偶数になると予想できるね。
浩太：確かにそうだけど，アは \( 20=4 \times 5 \)，イは \( 32=4 \times 8 \) と表されるから，\( 4 \) の倍数になると
予想することもできるよ。
陽香：なるほど。『正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数である』ことを，文字式を使って説明
してみよう。
（１） 下線部①について，浩太さんは，ウの正方形のときも，囲まれた４つの整数の和が \( 4 \) の倍数になることを次のように確かめた。□に当てはまる式を答えなさい。
\( 23+24+30+31=108=\boxed{ } \)
（２） 下線部②について，陽香さんは，予想が正しいことを説明するための手順を考え，次の【説明Ⅰ】を完成させた。【説明Ⅰ】の矢印( → ) で示された部分に用いた手順として，最も適切なものを，下のア～オから１つ選び，記号で答えなさい。
\( n \) を自然数として，正方形の４つの整数のうち，左上の数を \( n \) と表すと，右上の数は \( n+1 \)，
左下の数は \( n+7 \)，右下の数は \( n+8 \) と表される。
これらの和は，
\( n+(n+1)+(n+7)+(n+8)=4n + 16 \)
\( =4(n+4) \)
\( n+4 \) は整数だから，\( 4(n+4) \) は \( 4 \) の倍数である。
したがって，正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数である。
ア ４つの整数の和を式で表し，計算する。
イ 共通因数をくくり出し，因数分解する。
ウ 計算した式の意味を読みとって，結論を導く。
エ \( 4 \) の倍数であることを示すために，計算結果を変形する。
オ \( n \) を自然数として，４つの整数をそれぞれ文字式で表す。
２ 【説明Ⅰ】の \( 4(n+4) \) という式から，正方形で囲まれた４つの整数の和について，\( 4 \) の倍数であることのほかに，どんなことがいえるか考えた。次の【会話Ⅱ】は，２人が話し合っている場面である。
【会話Ⅱ】
浩太：\( 4(n+4) \) は，\( (n+4) \) の \( 4 \) 倍ということだよね。\( (n+4) \) は，何を表しているのかな。
陽香：【説明Ⅰ】の４つの整数の中に, \( (n+4) \) はないね。図Ⅰのアの正方形で考えてみよう。
アの正方形は 
だね。\( 20=4 \times 5 \) の \( 5 \) は，どこかに隠れていないかな。
浩太：見つけたよ。
をみて! \( 5 \) は左上の数 \( 1 \) と右下の数 \( 9 \) の和の半分になっているよね。
右上の数 \( 2 \) と左下の数 \( 8 \) のときも，和の半分は \( 5 \) になるよ。
陽香：すごい。浩太さんの考えを文字式を使って整理すると，
と表されるから，
● に入る式は \( (n+4) \) になるのかな。
浩太：文字式を計算して確かめると，左上の数と右下の数の和の半分は \( (n+4) \) になるね。
陽香：同じように，右上の数 \( (n+1) \) と左下の数 \( (n+7) \) の和の半分も \( (n+4) \) になるよ。
浩太：正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数であることだけでなく，『正方形の真ん中に
ある数 ● の \( 4 \) 倍である』こともいえるね。
【会話Ⅱ】の下線部について，右上の数と左下の数の和の半分が \( (n+4) \) になることを示す計算をかきなさい。
ただし，計算の過程では，\( (n+1) \) と \( (n+7) \) の両方の文字式を用いること。
３ ２人は，【会話Ⅱ】で発見したことをもとに，図Ⅱのように，正方形の向きと大きさを変えて，５つの整数を囲み，次のことを予想した。
正方形の四すみにある４つの整数の和は，真ん中にある数の \( 4 \) 倍である。
この【予想】が正しいことを文字式を使って説明した。下の【説明Ⅱ】の ➀ ～ ➂ に当てはまる式を答えなさい。また， ④ をうめて，【説明Ⅱ】を完成させなさい。
ただし，図Ⅱのように，正方形で５つの整数を囲むとき，四すみにある４つの整数は，上，左，右，下の数を，それぞれ \( 2，8，10，16 \) とする。また，真ん中にある数は \( 9 \) とする。
\( n \) を自然数として，正方形の５つの整数のうち，上の数を \( n \) と表すと，左の数は ➀ ，
右の数は ➁ ，下の数は ➂ と表される。
これらの和は，
➃
したがって，正方形の四すみにある４つの整数の和は，真ん中にある数の \( 4 \) 倍である。
これをもとに，図Ⅱの例で考えると，
上の数 ･･･ \( 2=n \)
真ん中にある数 ･･･ \( 9=2+7=n+7 \)
左の数 ･･･ \( 8=2+7-1=n+6 \)
右の数 ･･･ \( 10=2+7+1=n+8 \)
下の数 ･･･ \( 16=2+7+7=n+14 \)
となります。
\( \phantom{ } \)
大問４
志帆さんと直樹さんは，タブレット端末のソフトを使って，グラフを作成している。図Ⅰは，ソフトの【機能】を用いて，関数 \( y=x^2 \) のグラフを表示したものである。
このとき，後の１，２の問いに答えなさい。
・ 関数を選び，\( \boxed{ } \) に値を入力すると，グラフが表示される。
・ 文字の値は
を使って変えることができる。ボタン (●) を左に動かすと値はだんだん小さくなり，
右に動かすとだんだん大きくなる。
・ 複数のグラフを作成し，同時に表示することができる。
１ 【会話Ⅰ】は，関数 \( y=ax^2 \) と関数 \( y=bx+c \) のグラフについて，\( a，b，c \) の値によってグラフがどのように変化するかを，２人が調べている場面である。 ① ～ ➂ に当てはまるグラフの変化として正しいものを，後のア～カから１つずつ選び，それぞれ記号で答えなさい。
ただし，変化する前のグラフを薄い線 (－)，変化した後のグラフを濃い線 (－) で表している。
【会話Ⅰ】
志帆：図Ⅰは，\( y=ax^2 \) を選んで \( a \) に \( 1 \) を入力したから，\( y=x^2 \) のグラフが表示されているね。
\( a \) のボタン (●) を動かすと，グラフの開き方がどのように変わるのかな。
直樹：\( a \) のボタンを右に動かすと，\( a \) の値は \( 1 \) より大きくなって，グラフは ① のように変化したよ。
\( y=bx+c \) のグラフではどうかな。
志帆：\( b \) に \( -1 \), \( c \) に \( 6 \) を入力すると，\( y=-x+6 \) のグラフができるよ。\( b=-1 \) と \( c=6 \) の
状態から，どちらか一方のボタンを動かして，グラフの変化を調べてみようよ。
直樹：\( b \) の値は変えずに，\( c \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは ➁ のように変化し，\( c \) の値は
変えずに，\( b \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは ➂ のように変化するね。
例として，\( y=x^2 \) と \( y=2x^2 \) のグラフを考えると下の図のようになります。
➁ ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=-1，c=0 \) を代入すると，\( y=-x \) なので，
グラフは下の図のようになります。
➂ ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=0，c=6 \) を代入すると，\( y=6 \) なので，
グラフは下の図のようになります。
２ 図Ⅱは，関数 \( y=x^2 \) ･･･ ❶ と関数 \( y=-x+6 \) ･･･ ❷ と \( x=t \) のグラフを同時に表示し，点 \( A，B，P，Q，R \) を，次の【設定】にしたがって定めたものである。下の【会話Ⅱ】は，\( t \) の値によって変化する点や図形について，２人が調べている場面である。
このとき，後の（１）～（３）の問いに答えなさい。
・ \( x=t \) と ❶ のグラフの交点を \( P \)，\( x=t \) と ❷ のグラフの交点を \( Q \)，
\( x=t \) と \( x \) 軸との交点を \( R \) とする。
・ ❶ と ❷ のグラフの交点を \( A，B \) とし，座標を表示する。
・ \( t \) の変域は，\( -3≦t≦2 \) とする。
【会話Ⅱ】
直樹：\( t \) に \( -2 \) を入力すると，点 \( Q \) の座標は ➃ になったよ。
このとき，点 \( P \) は線分 \( QR \) の中点になるね。\( t \) の値を少しずつ大きくしてみよう。
志帆：\( t=0 \) のときは，点 \( P \) は原点 \( O \) と重なるね。
このとき，\( △APB \) の面積は ➄ になるね。
直樹：ほら見て。点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるときが，もう１つあったよ。
志帆：本当だね。そのときの \( t \) の値は，\( t= \) ⑥ だね。
（１） 【会話Ⅱ】の ➃ に当てはまる座標を答えなさい。
（２） 【会話Ⅱ】の ➄ ， ⑥ に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。
➄
\( △APB \) を \( △APQ \) と \( △BPQ \) にわけると，
\( t=0 \) のとき，点 \( Q \) の座標は \( Q(0，6) \) なので，
線分 \( PQ \) を底辺と考えると，
\( △APQ=6 \times 3 \times \dfrac{1}{2}=9 \)
\( △BPQ=6 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=6 \)
なので，
\( △APB=△APQ+△BPQ=15 \)
⑥
点 \( R \) の \( y \) 座標は \( 0 \) なので，点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるとき，
点 \( Q \) の \( y \) 座標の値は，点 \( P \) の \( y \) 座標の値の２倍になります。
点 \( P \) は \( y=x^2 \) 上の点なので，
\( x=t \) のときの \( y \) 座標は \( t^2 \) と表せます。
点 \( Q \) は \( y=-x+6 \) 上の点なので，
\( x=t \) のときの \( y \) 座標は \( -t+6 \) と表せます。
ここから，
\( -t+6=2t^2 \)
\( 2t^2+t-6=0 \)
\( (2t-3)(t+2)=0 \)
\( t=-2，\dfrac{3}{2} \)
求めるのは，\( t=-2 \) ではない方なので，あてはまる \( t \) の値は，\( t=\dfrac{3}{2} \) になります。
（３） \( △APB \) について，正しく述べているものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。
ア \( t=0 \) のとき，\( △APB \) は \( ∠B=90° \) の直角三角形である。
イ \( t=0 \) のとき，\( △APB \) の面積は，\( y \) 軸によって二等分される。
ウ \( t=-1 \) と \( t=0 \) のときの \( △APB \) の面積は等しい。
エ 点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるとき，\( △APB \) の面積は，\( △ARB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍である。
オ \( t \) の値が変わると，\( △APB \) の３つの辺は，すべて長さが変わる。
ウ \( t=-1 \) と \( t=0 \) のときの \( △APB \) の面積は等しい。
\( t=0 \) のときの点 \( P \) を点 \( P’ \) と名前をつけ直して区別すると，
等積変形の考え方から \( △APB \) と \( △AP’B \) の面積は等しいといえます。
\( t=-1 \) のときの点 \( P \) の座標は \( P(-1，1) \)
\( t=0 \) のときの点 \( P’ \) の座標は \( P’(0，0) \)
なので，直線 \( PP’ \) の傾きは \( \dfrac{0-1}{0-(-1)}=-1 \)
直線 \( AB \) と直線 \( PP’ \) の傾きは等しいので，
２直線は平行になっています。
よって，等積変形の考え方から，\( △APB \) と \( △AP’B \) の面積は等しくなっています。
エ 点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるとき，\( △APB \) の面積は，\( △ARB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍である。
\( △APB \) を \( △APQ \) と \( △BPQ \) に，\( △ARB \) を \( △ARQ \) と \( △BRQ \) にわけます。
線分 \( PQ，RQ \) を底辺とすると，\( PQ=RP \) より \( 2PQ=RQ \) であり，
\( △APQ \) と \( △ARQ \)，\( △BPQ \) と \( △BRQ \) はそれぞれ高さが共通なので，
\( 2△APQ=△ARQ \)
\( 2△BPQ=△BRQ \)
となっています。
このとき，\( △APB=△APQ+△BPQ \) であることから，
\( △ARB=△ARQ+△BRQ \)
\( =2△APQ+2△BPQ \)
\( =2(△APQ+△BPQ) \)
\( =2△APB \)
つまり，\( △APB=\dfrac{1}{2}△ARB \) になっています。
【正しくない理由】
ア \( t=0 \) のとき，\( △APB \) は \( ∠B=90° \) の直角三角形である。
直線 \( AB \) の傾きは \( -1 \)，直線 \( PB \) の傾きは \( 2 \) であり，
２直線の傾きの積が \( -1 \) ではないので，\( ∠B=90° \) ではありません。
垂直に交わる２直線の傾きの積は \( -1 \) になります。
直線 \( PB \) は \( P(0，0)，B(2，4) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4-0}{2-0}=2 \) になっています。
直線 \( AB \) の傾きは \( -1 \) であり，
２直線の傾きの積は \( -1 \times 2=-2 \) なので，
\( ∠B=90° \) ではありません。
イ \( t=0 \) のとき，\( △APB \) の面積は，\( y \) 軸によって二等分される。
２より，\( t=0 \) のとき，\( △APQ=9，△BPQ=6 \) なので，二等分されていません。
オ \( t \) の値が変わると，\( △APB \) の３つの辺は，すべて長さが変わる。
\( t \) の値を変えても２点 \( A，B \) の位置は変わらないので，辺 \( AB \) の長さは変わりません。
大問５
図Ⅰは，\( △ABC \) において，\( AB//DC \)，
\( BC=CD \) となる点 \( D \) をとり，線分 \( DB \) を
ひいたものである。また，線分 \( AC \) と線分 \( DB \)
の交点を \( P \) とする。
このとき，次の１～３の問いに答えなさい。
１ \( ∠BCD=110° \) のとき，\( ∠ABD \) の大きさを求めなさい。
\( BC=CD \) より，
\( △BCD \) は二等辺三角形なので，
\( ∠CDB=∠CBD=\dfrac{180°-110°}{2} \)
\( =35° \)
\( AB//DC \) より，錯角は等しいので，
\( ∠ABD=∠CDB=35° \)
２ \( △APB \) ∽ \( △CPD \) であることを証明しなさい。
\( △APB \) と \( △CPD \) において，
対頂角は等しいので，
\( ∠APB=∠CPD \) ･･･ ➀
\( AB//DC \) より，錯角は等しいので，
\( ∠PBA=∠PDC \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △APB \) ∽ \( △CPD \)
３ 図Ⅱは，図Ⅰに線分 \( BC \) を直径とする円 \( O \) をかき，円 \( O \) と線分 \( BD \) との交点を \( Q \) としたものである。
\( AB：CD=3：5，∠BCD=120° \) のとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
（１） \( BP：PQ \) を求めなさい。
\( △BCD \) において，\( BC=CD，∠BCD=120° \) より，
\( ∠CBD=∠CDB=\dfrac{180°-120°}{2} \)
\( =30° \)
補助線 \( CQ \) をひくと，\( ∠BQC \) は直径 \( BC \) に
対する円周角であり，\( ∠BQC=90° \) です。
ここから，線分 \( CQ \) は，二等辺三角形の頂角から向かい合う辺 \( BD \) にひいた垂線なので，
交点 \( Q \) は線分 \( BD \) の中点になっています。
また，２より \( △APB \) ∽ \( △CPD \) であり，
\( AB：CD=3：5 \) より対応する辺は等しいので，
\( BP：DP=3：5 \)
点 \( Q \) は線分 \( BD \) の中点であることから，
\( BQ：DQ=1：1=4：4 \)
とすると，
\( BP：PQ=BP：(BQ-BP) \)
\( =3：(4-3) \)
\( =3：1 \)
（２） \( PQ=2 \; cm \) のとき，\( BQ，BC \) と \( \stackrel{\huge\frown}{ QC } \) で囲まれた部分( ) の面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
【おうぎ形 \( OCQ \) の面積を求める】
おうぎ形の面積を求めるために，まず半径と中心角を求めます。
ＳＴＥＰ１ 中心角を求める
\( ∠CBD \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ QC } \) に対する円周角，
\( ∠COQ \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ QC } \) に対する中心角
なので，
\( ∠COQ=2∠CBD=60° \)
\( \phantom{ } \)
ＳＴＥＰ２ 半径を求める
\( △BQC \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形，
（１）より，\( BP：PQ=3：1 \) なので，
\( CQ=\dfrac{BQ}{\sqrt{3}} \)
\( =\dfrac{(BP+PQ)}{\sqrt{3}} \)
\( =\dfrac{8}{\sqrt{3}} \; (cm) \)
\( △OCQ \) は，\( ∠OCQ=60° \) の二等辺三角形
であり，正三角形なので，円 \( O \) の半径は \( \dfrac{8}{\sqrt{3}} \; cm \) です。
\( \phantom{ } \)
ＳＴＥＰ３ おうぎ形の面積を求める
おうぎ形 \( OCQ \) は，半径 \( \dfrac{8}{\sqrt{3}} \; cm \)，中心角 \( 60° \)
なので，面積は
\( \pi{} \times \left(\dfrac{8}{\sqrt{3}} \right)^2 \times \dfrac{60°}{360°}=\dfrac{32\pi{}}{9} \; (cm^2) \)
\( \phantom{ } \)
【 \( △OBQ \) の面積を求める】
\( △OBQ \) の面積をより簡単に求めるために，まず，\( △OBQ \) と \( △BQC \) の面積比を求めます。
ＳＴＥＰ１ \( △OBQ \) と \( △BQC \) の面積比を求める
\( △OBQ \) の底辺を線分 \( OB \)，
\( △OQC \) の底辺を線分 \( OC \) とすると，
\( OB=OC \) で，高さが共通なので，
\( △OBQ \) と \( △OCQ \) の面積は等しくなります。
\( △BQC=△OBQ+△OCQ \) であることから，
\( △OBQ \) の面積は \( △BQC \) の面積の半分に
なっています。
\( \phantom{ } \)
ＳＴＥＰ２ \( △OBQ \) の面積を求める
\( △BQC \) の底辺を \( BQ \)，高さを \( CQ \) とすると，
\( △OBQ=\dfrac{1}{2}△BQC \)
\( =\dfrac{1}{2} \times \left\{ (6+2) \times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \times \dfrac{1}{2} \right\} \)
\( =\dfrac{16}{\sqrt{3}} \)
\( =\dfrac{16\sqrt{3}}{3} \; (cm^2) \)
\( \phantom{ } \)
以上より，求める面積は \( \left( \dfrac{16\sqrt{3}}{3}+\dfrac{32\pi{}}{9} \right) \; cm^2 \) になります。
