長崎県公立高校入試　令和７（2025）年度　Ａ問題　解答＆解説

右の図のように直線 \( l，m \) と平行な直線をひくと，
\( 105° \) の角は \( 42° \) と \( 63° \) に分かれるので，
錯角は等しく，\( ∠x=63° \)

\( x \) と \( y \) の組み合わせと \( xy \) の値を表に書き出すと，あてはまる組み合わせは９通りなので，
確率は \( \dfrac{9}{25} \)

関数 \( y=ax^2 \; (a>0) \) について，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，
\( y \) の値は最大値をとります。

\( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) なので，
\( y \) の最小値は \( 0 \)，
\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=4 \) のとき
なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 4^2=8 \)

よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦8 \) になります。

点 \( A \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-2)^2=2 \)

直線 \( AB \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
\( A(-2，2)，B(4，8) \) を通るので，
　\( m=\dfrac{8-2}{4-(-2)}=1 \)
\( y=x+n \) に \( x=4，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=4+n \)
　\( n=4 \)

よって，直線 \( AB \) の式は \( y=x+4 \) になります。

直線 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( D \) とすると，
\( △ABC \) は \( △ACD \) と \( △BCD \) にわけることができます。

\( △ACD \) と \( △BCD \) において，線分 \( CD \) を底辺とすると，
　\( △ACD=7 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=7 \)
　\( △BCD=7 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=14 \)
であり，
　\( △ABC=7+14=21 \)

\( △ABC’ \) を \( △AC’D \) と \( △BC’D \) にわけ，
線分 \( C’D \) を底辺とすると，
\( △ACD \) と \( △AC’D \)，\( △BCD \) と \( △BC’D \) は，それぞれ高さが等しいので，
\( C’D=CD=7 \) のとき，\( △ACD=△AC’D，△BCD=△BC’D \) となり，
\( △ABC=△ABC’ \) になります。

\( △ABC’ \) と \( △ABP \) は辺 \( AB \) が共通なので，
等積変形の考え方から，
点 \( P \) が点 \( C \) を通り，直線 \( AB \) と平行な直線
（直線 \( m \) とします）上にあるとき，
\( △ABC’ \) の面積と \( △ABP \) の面積が等しくなります。

直線 \( m \) と直線 \( AB \) は傾きが等しいので，
傾きは \( 1 \)，
点 \( C’ \) を通るので，\( y \) 切片は \( -3 \)
よって，直線 \( m \) の式は \( y=x-3 \)

 \( AC=2\sqrt{3} \; cm \) は半円の直径なので，
半径 \( OA=\sqrt{3} \; cm \) になります。

（１）より，おうぎ形 \( AOD \) の中心角は
\( ∠AOD=120° \) なので，
おうぎ形 \( AOD \) の面積は
　\( \pi{} \times (\sqrt{3})^2 \times \dfrac{120°}{360°}=\pi{} \; (cm^2) \)

\( △ADC \) を，辺 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体は右の図のように円すいを２つくっつけた形になっています。

\( △ADC \) において，点 \( D \) から線分 \( AC \) に垂線をひいた交点を \( E \) とすると，
\( △ABC \) ∽ \( △ADE \) になります。

\( AB=3\sqrt{2} \; cm，AD=2\sqrt{2} \; cm \) なので，
　\( BC：DE=AB：AD \)
　\( \sqrt{6}：DE=3\sqrt{2}：2\sqrt{2} \)
　\( \sqrt{6}：DE=3：2 \)
　　　　\( DE=\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \; (cm) \)

線分 \( DE \) は２つの円すいの底面の半径なので，
\( AE=x \; cm，CE=y \; cm \) とすると，
上側の円すいの体積は
　\( \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)^2 \right\} \times x \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{9}\pi{}x \; (cm^3) \)
下側の円すいの体積は
　\( \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)^2 \right\} \times y \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{9}\pi{}y \; (cm^3) \)
と表すことができるので，求める立体の体積は
　\( \dfrac{8}{9}\pi{}x+\dfrac{8}{9}\pi{}y=\dfrac{8}{9}\pi{}(x+y) \; (cm^3) \)
と表すことができます。

　（エ）　
\( 6 \; cm \) の針金を３等分するので，
１辺の長さは \( 2 \; cm \)

　（オ）　
正三角形 \( ABC \) において，点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，交点を \( D \) とすると，
\( △ABD \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
　\( AD=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2=\sqrt{3} \; (cm) \)
よって，正三角形 \( ABC \) の面積は，
　\(  2 \times \sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=\sqrt{3} \; (cm^2) \)

　（カ）　
１辺の長さは \( \dfrac{3}{2} \; cm \) なので，
この正方形の面積は，
　\( \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4} \; (cm^2) \)

　（キ）　
１辺の長さは \( 1 \; cm \) であり，右の図のように対角線をひくと，１辺 \( 1 \; cm \) の正三角形が６個できます。
正三角形１個の面積は，
　\( 1 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \; (cm^2) \)
なので，正六角形の面積は，
　\( \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm^2) \)