大問１
(1) 次の ➀～➄ の計算をしなさい。
➀ \( -5+8 \)
➁ \( 6-(-3)^2 \times 2 \)
➂ \( \dfrac{x+5y}{8}+\dfrac{x-y}{2} \)
➃ \( (4x^2y+xy^3) \div xy \)
➄ \( \sqrt{6} \times \sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \)
(2) ２次方程式 \( x^2-6x-16=0 \) を解きなさい。
(3) \( \sqrt{6a} \) が \( 5 \) より大きく \( 7 \) より小さくなるような自然数 \( a \) の値をすべて求めなさい。
(4) 関数 \( y=-x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦a \) のとき，\( y \) の変域は \( -16≦y≦b \) である。
このとき，\( a，b \) の値をそれぞれ求めなさい。
\( y=-x^2 \) において，\( y=-16 \) になるときの \( x \) の値は，
\( -16=-x^2 \)
\( x=±4 \)
\( -2≦x≦a \) より，あてはまるのは，\( x=4 \)
よって，\( a=4 \)
右の図において，\( y \) の値が最大になるのは，\( y=0 \) のとき
よって，\( b=0 \)
(5) 右の〔図〕のように，半径が \( 5 \; cm \)，中心角が \( 144° \) のおうぎ形がある。
このおうぎ形の面積を求めなさい。
(6) 下の〔図〕のように，直線 \( l \) と２点 \( A，B \) がある。直線 \( l \) 上の点 \( A \) で接し，点 \( B \) を通る円の中心 \( O \) を，作図によって求めなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に使った線は消さないこと。
・ 円の中心から弦に対して垂線を引くと，弦を二等分する。
これらの２つの性質から，
「点 \( A \) を通り，直線 \( l \) と垂直な直線」と「線分 \( AB \) の垂直二等分線」の交点が点 \( O \) になります。
手順１ 点 \( A \) を中心に円弧を描く
（直線 \( l \) との交点を点 \( C，D \) とします）
手順２ 点 \( C，D \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( E \) とします）
手順３ ２点 \( A，E \) を通る直線を描く
手順４ 線分 \( AB \) を描く
手順５ ２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( F，G \) とします）
手順６ ２点 \( F，G \) を通る直線を描く
手順３と手順６の直線の交点が点 \( O \) になります。
大問２
下の〔図１〕のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，点 \( A \) の座標は \( (-4，4) \)，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 2 \) である。
次の (1)～(3) の問いに答えなさい。
(1) \( a \) の値を求めなさい。
(2) 直線 \( AB \) の式を求めなさい。
点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 2 \) なので，
\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2=1 \)
直線 \( AB \) は２点 \( A(-4，4)，B(2，1) \) を通るので，
傾きは，\( \dfrac{1-4}{2-(-4)}=-\dfrac{1}{2} \)
直線 \( AB \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，\( (2，1) \) を通るので，
\( 1=-\dfrac{1}{2} \times 2+b \)
\( b=2 \)
よって，直線 \( AB \) の式は \( y=-\dfrac{1}{2}x+2 \)
(3) 下の〔図２〕のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと直線 \( AB \) で囲まれた図形を \( D \) とする。この図形 \( D \) に含まれる点のうち，\( x \) 座標，\( y \) 座標がともに整数である点について考える。ただし，図形 \( D \) は関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上および直線 \( AB \) 上の点もすべて含む。
次の１，２の問いに答えなさい。
➀ 図形 \( D \) に含まれる点のうち，\( x \) 座標が \( -2 \) で，\( y \) 座標が整数である点の個数を求めなさい。
\( x=-2 \) と \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) の交点を点 \( P \)，\( x=-2 \) と直線 \( AB \) の交点を点 \( Q \) とすると，
あてはまる点は線分 \( PQ \) 上にあります。
点 \( P \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{4} \times (-2)^2=1 \) なので，
点 \( P \) の座標は，\( P(-2，1) \)
点 \( Q \) の \( y \) 座標は，\( y=-\dfrac{1}{2} \times (-2)+2=3 \) なので，
点 \( Q \) の座標は，\( Q(-2，3) \)
\( P(-2，1) \) と \( Q(-2，3) \) の間の点で，
\( y \) 座標が整数である点は \( (-2，2) \) だけなので，
あてはまる点の個数は３個になります。
➁ 直線 \( y=\dfrac{9}{2}x+b \) で，図形 \( D \) を２つの図形に分ける場合について考える。ただし，\( b \) は整数とする。このとき，分けた２つの図形それぞれに含まれる \( x \) 座標，\( y \) 座標がともに整数である点の個数が等しくなるような \( b \) の値を求めなさい。
ただし，直線 \( y=\dfrac{9}{2}x+b \) は，図形 \( D \) に含まれる \( x \) 座標，\( y \) 座標がともに整数である点を通らないものとする。
\( x=-4 \) のとき ･･･ 点 \( A \) の１個
\( x=-3 \) のとき ･･･ \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{9}{4} \)，直線 \( AB \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{7}{2} \) なので，
あてはまる点は，\( (-3，3) \) の１個
\( x=-2 \) のとき ･･･ ➀ より，３個
\( x=-1 \) のとき ･･･ \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{4} \)，直線 \( AB \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{5}{2} \) なので，
あてはまる点は，\( (-1，1)，(-1，2) \) の２個
\( x=0 \) のとき ･･･ \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) との交点の \( y \) 座標は \( 0 \)，直線 \( AB \) との交点の \( y \) 座標は \( 2 \) なので，
あてはまる点は，\( (0，0)，(0，1)，(0，2) \) の３個
\( x=1 \) のとき ･･･ \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{4} \)，直線 \( AB \) との交点の \( y \) 座標は \( \dfrac{3}{2} \) なので，
あてはまる点は，\( (1，1) \) の１個
\( x=2 \) のとき ･･･ 点 \( B \) の１個
なので，すべての点の個数は１２個
\( y=\dfrac{9}{2}x+b \) は，右上がりの直線なので，
この１２個の点を同じ個数になるようにわけると，
\( (-1，1) \) と \( (-1，2) \) の間を通ることになります。
\( y=\dfrac{9}{2}x+b \) が \( (-1，1) \) を通るときの \( b \) の値は
\( 1=\dfrac{9}{2} \times (-1)+b \)
\( b=\dfrac{11}{2} \)
\( y=\dfrac{9}{2}x+b \) が \( (-1，2) \) を通るときの \( b \) の値は
\( 2=\dfrac{9}{2} \times (-1)+b \)
\( b=\dfrac{13}{2} \)
なので，\( \dfrac{11}{2}<b<\dfrac{13}{2} \) を満たす \( b \) の値のうち，整数になるのは，\( b=6 \)
大問３
(1) 右の〔図１〕のように，\( A，B，C，D，E \) のアルファベットが１つずつ書かれた５枚のカードが，上から \( A，B，C，D，E \) の順に重なっている。
大小２つのさいころを同時に投げ，出た目の数の和と同じ回数だけ，一番上のカードを１枚ずつ一番下に移動させる。
例えば，出た目の数の和が２のとき，最初に \( A \) のカードを一番下に移動させ，次に一番上になっている \( B \) のカードを一番下に移動させるため，\( C \) のカードが一番上になる。
ただし，大小２つのさいころのそれぞれについて，１から６までのどの目が出ることも，同様に確からしいものとする。
次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 出た目の数の和が６のとき，６回カードを移動させた後，一番上になるカードのアルファベットを答えなさい。
➁ 出た目の数の和と同じ回数だけカードを移動させた後，\( C \) のカードが一番上になる確率を求めなさい。
２回カードを移動させたとき，７回カードを移動させたとき，１２回カードを移動させたとき
の３通りなので，
出た目の数の和が２，７，１２になるのは８通り，すべての場合の数は３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)
(2) ある中学校の１，２年生のバスケットボール部員４０人が，９月にフリースローを１人あたり２０本ずつ行った。その結果から，半年後の３月までに部員４０人が，フリースローを１人あたり２０本中１５本以上成功することを目標に掲げた。３月になり部員４０人が，フリースローを１人あたり２０本ずつ行った。
下の〔図２〕は，この中学校のバスケットボール部員４０人の９月と３月のフリースローが成功した本数のデータの分布のようすを箱ひげ図にまとめたものである。
次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 〔図２〕の９月のデータの四分位範囲を求めなさい。
\( 14-8=6 \)（本）
➁ 太郎さんは，上の〔図２〕の箱ひげ図をもとに，９月に比べ３月は目標を達成した部員の割合が増えたと判断した。
次の〔説明〕は，太郎さんが，目標である１５本以上成功した部員の割合が増えたと判断した理由を説明したものである。ア には適する数を，イには〔説明〕の続きを「中央値」の語句を用いて書きなさい。
９月の第３四分位数は ア 本であるため，１５本以上成功した部員の割合は２５%以下である。
イ
ゆえに，９月に比べ３月は目標を達成した部員の割合が増えたと判断できる。
大問４
ある学校の吹奏楽部が，市民ホールのコンサート会場で，\( 14 \) 時 \( 30 \) 分から定期演奏会を行った。定期演奏会では，事前にチケットを購入した人のみがコンサート会場に入場することができた。コンサート会場の入り口には３つのゲートがあり，ゲートの前に並んだ人は，誘導係の指示でゲートを通過して入場した。
最初は１つのゲートから入場させていたが，ゲートの前に並んでいる人数が増えていったため，途中から誘導係が，通過できるゲートを増やして対応した。
吹奏楽部員の花子さんと太郎さんは，次回の定期演奏会で入場時の混雑をできるだけ解消するには，どうすればよいかを考えるために，当日の入場の様子を参考に，下の〔仮定〕を設定した。
1⃣ 定期演奏会の開始時刻は \( 14 \) 時 \( 30 \) 分とする。
2⃣ 入場開始時刻は \( 13 \) 時 \( 15 \) 分とする。ゲートの前には入場開始時点で４５人が１列で並んでいる
ものとする。
3⃣ \( 13 \) 時 \( 15 \) 分から \( 14 \) 時 \( 15 \) 分までの \( 60 \) 分間は，ゲートの前に並んでいる人の列に新たに
加わる人数は，１分間あたり１２人とする。それより後は，列に新たに人は並ばないものとする。
4⃣ \( 13 \) 時 \( 15 \) 分から \( 13 \) 時 \( 45 \) 分までの \( 30 \) 分間は，通過できるゲートを１つとし，\( 13 \) 時 \( 45 \) 分
からゲートの前に並ぶ全員の入場が完了するまでは，通過できるゲートを３つとする。
5⃣ 通過できるゲートが１つの場合でも３つの場合でも，いずれのゲートも通過する人数は１分間
あたり５人とする。
下の〔図１〕は \( 13 \) 時 \( 15 \) 分から \( 13 \) 時 \( 45 \) 分までの \( 30 \) 分間，〔図２〕は \( 13 \) 時 \( 45 \) 分からゲートの前に並ぶ 全員の入場が完了するまでの，ゲート付近の様子を模式的に表したものである。
下の会話は，花子さんと太郎さんと吹奏楽部の顧問の先生が，定期演奏会を振り返り，次回に向けて話しているときのものである。
会話を読んで，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
太郎：この〔仮定〕のもとで，入場が完了する時刻をどう考えればよいですか。
花子：通過できるゲートが１つの場合と３つの場合に分けて考えてはどうですか。
太郎：\( 13 \) 時 \( 45 \) 分までは通過できるゲートが１つなので，\( 13 \) 時 \( 15 \) 分から \( 13 \) 時 \( 45 \) 分までの \( 30 \) 分間に
ゲートを通過する人数は ア 人です。\( 13 \) 時 \( 45 \) 分以降は通過できるゲートが３つになるので，
ゲートを通過する人数は１分間あたり１５人になります。それによって，\( 13 \) 時 \( 45 \) 分以降，時間の
経過とともにゲートの前に並んでいる人数は減り，入場が完了します。
先生：そうですね。では，入場が完了するのは，何時何分ですか。
花子：まず，入場を開始してから完了するまでのゲートを通過する人数について考えます。
入場開始時刻の \( 13 \) 時 \( 45 \) 分には４５人が並んでいて，\( 13 \) 時 \( 15 \) 分から \( 14 \) 時 \( 15 \) 分までの
\( 60 \) 分間は１分間あたり１２人が並びます。だから，入場を開始してから完了するまでのゲートを通過
する人数は イ 人となります。
太郎：そうすると，通過できるゲートが３つになってから入場が完了するまでに，ゲートを通過する
人数は ウ 人と計算できます。
したがって，入場が完了する時刻は エ になります。
先生：その通りですね。
花子：ですが，次回の定期演奏会では，もう少し早く入場を完了させたいですね。
(1) 会話の中の ア ～ ウ には適する数を， エ には適する時刻を，それぞれ求めなさい。
(2) 次回の定期演奏会では，開演 \( 10 \) 分前の \( 14 \) 時 \( 20 \) 分ちょうどに入場を完了させたい。〔仮定〕の４の通過できるゲートを１つから３つにする時刻である \( 13 \) 時 \( 45 \) 分を，何時何分に変更すればよいか，求めなさい。
ただし，〔仮定〕の４の条件以外は変更しないものとする。
１つのゲートにつき，１分あたり５人が入場できるので，５人を１つのグループとして □ の記号で書いてみると，下の図のようになります。
なお，わかりやすくするため，入場後もゲートを通過した状態をキープして整列しているものとします。
早まった６分間に入場するはずだった１８グループの人は使用するゲートを３つにする時間を早めた部分で入場することになるので，この１８グループを残りの２つのゲートのところに振り分けると，９分が必要になるとわかります。
今回，ゲートを３つにしたのは \( 13 \) 時 \( 45 \) 分なので，その９分前は \( 13 \) 時 \( 36 \) 分になります。
大問５
右の〔図１〕のように，底面の半径が \( 4 \; cm \)，高さが \( 10 \; cm \) の円柱の形をした容器 \( X \) があり，容器 \( X \) を水平な台の上に置いた。
次の (1) ，(2) の問いに答えなさい。
ただし，容器 \( X \) の厚さは考えないものとする。
(1) 容器 \( X \) の体積を求めなさい。
(2) 右の〔図２〕のように，容器 \( X \) の中に半径 \( 2 \; cm \) の鉄球を１個入れ，鉄球の上端と水面が同じ高さになるまで水を入れた。
このとき，半径 \( 2 \; cm \) の鉄球は容器 \( X \) の底面に接している。
次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
➀ 容器 \( X \) に入れた水の体積を求めなさい。
➁ 右の〔図３〕のように，〔図２〕の容器 \( X \) の中に，半径 \( 3 \; cm \) の鉄球を１個入れ，半径 \( 3 \; cm \) の鉄球の上端と水面が同じ高さになるまで水を追加した。２個の鉄球は，互いに接し，いずれも容器 \( X \) の側面に接している。
このとき，容器 \( X \) の底面から水面までの高さを求めなさい。
また，追加した水の体積を求めなさい。
〔図３〕の状態を正面から見ると右の図のようになります。
ここで，半径 \( 2 \; cm \) の鉄球の中心を \( O \)，半径 \( 3 \; cm \) の鉄球の中心を \( O’ \) ２つの鉄球の接点を \( P \) とすると，２つの鉄球は円に見え，円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，３点 \( O \)，\( O’ \)，\( P \) は一直線上に並びます。
半径 \( 2 \; cm \) の鉄球と容器の側面の接点を点 \( A \)，
半径 \( 3 \; cm \) の鉄球と容器の側面の接点を点 \( B \)，
線分 \( AO \) を延長した直線と容器の側面の交点を点 \( B’ \)，
点 \( O’ \) から線分 \( AB’ \) にひいた垂線の交点を点 \( Q \)とすると，
\( BO’=3 \; cm，BO’//B’Q，BO’⊥O’Q，B’Q⊥O’Q \) より，
\( B’Q=3 \; cm \)
\( AB’=8 \; cm，AO=2 \; cm \) なので，
\( OQ=8-(2+3)=3 \; (cm) \)
\( △OO’Q \) において，三平方の定理より，
\( O’Q^2=5^2-3^2=16 \; (cm) \)
\( O’Q=4 \; (cm) \) （\( O’Q>0 \) より）
半径 \( 3 \; cm \) の鉄球の上端にあたる点を点 \( C \)，
線分 \( O’Q \) を延長し，容器の底面との交点を点 \( D \) とすると，
\( DQ=2 \; cm，CO’=3 \; cm \) より，
\( CD=2+4+3=9 \; (cm) \)
容器 \( X \) のうち，底面からの高さが \( 9 \; cm \) の部分までの容積は，
\( \pi \times 4^2 \times 9=144\pi \; (cm^3) \)
半径 \( 2 \; cm \) の鉄球の体積は， ➀ より，\( \dfrac{32}{3}\pi \; (cm^3) \)
半径 \( 3 \; cm \) の鉄球の体積は，
\( \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3=36\pi \; (cm^3) \)
なので，入った水の体積は，
\( 144\pi-\dfrac{32}{3}\pi-36\pi=\dfrac{292}{3}\pi \; (cm^3) \)
➀ の時点で \( \dfrac{160}{3}\pi \; cm^3 \) の水が入ってたので，追加した水の体積は，
\( \dfrac{292}{3}\pi-\dfrac{160}{3}\pi=44\pi \; (cm^3) \)
大問６
下の〔図１〕のように，正三角形 \( ABC \) がある。下の〔図２〕のように，辺 \( AB，AC \) 上に点 \( D，E \) をそれぞれとり，正三角形 \( ABC \) を線分 \( DE \) を折り目として折り返し，頂点 \( A \) が移った点を \( F \) とする。また，辺 \( BC \) と線分 \( DF，EF \) との交点をそれぞれ \( G，H \) とする。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。
(1) \( △GFH \) ∽ \( △ECH \) であることを証明しなさい。
\( △GFH \) と \( △ECH \) において，
折り返す前後の図形は合同なので，\( △ADE≡△FDE \)
対応する角の大きさは等しいので，\( ∠DAE=∠GFH \) ･･･ ➀
正三角形の内角はすべて等しいので，\( ∠DAE=∠ECH \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠GFH=∠ECH \) ･･･ ③
対頂角は等しいので，\( ∠FHG=∠CHE \) ･･･ ④
③④より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △GFH \) ∽ \( △ECH \)
(2) 正三角形 \( ABC \) の１辺の長さを \( 16 \; cm \) とし，\( CH=8 \; cm，EH=7 \; cm，HF=4 \; cm \) とする。
次の➀，➁の問いに答えなさい。
➀ 線分 \( FG \) の長さを求めなさい。
折り返す前後の図形は合同なので，\( EA=EF=EH+HF=11 \; (cm) \)
\( CA=16 \; cm \) なので，\( CE=CA-EA=5 \; (cm) \)
(1) より，\( △GFH \) ∽ \( △ECH \) なので，
\( FG：CE=HF：CH \)
\( FG：5=4：8 \)
\( 8FG=20 \)
\( FG=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)
➁ 線分 \( DB \) と線分 \( DF \) の長さの比 \( DB：DF \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(1) より，\( △GFH \) ∽ \( △ECH \) なので，
\( HG：EH=HF：CH \)
\( HG：7=4：8 \)
\( 8HG=28 \)
\( HG=\dfrac{7}{2} \; (cm) \)
ここから，\( BG=BC-CH-HG=\dfrac{9}{2} \; (cm) \)
(1) と同様の考え方で，\( △GFH \) ∽ \( △GBD \) なので，
\( HG：DG=FG：BG \)
\( \dfrac{7}{2}：DG=\dfrac{5}{2}：\dfrac{9}{2} \)
\( 7：2DG=5：9 \)
\( 10DG=63 \)
\( DG=\dfrac{63}{10} \; (cm) \)
\( HF：DB=FG：BG \)
\( 4：DB=\dfrac{5}{2}：\dfrac{9}{2} \)
\( 4：DB=5：9 \)
\( 5DB=36 \)
\( DB=\dfrac{36}{5} \; (cm) \)
以上より，
\( DB：DF=DB：(DG+FG) \)
\( =\dfrac{36}{5}：\left( \dfrac{63}{10}+\dfrac{5}{2} \right) \)
\( =\dfrac{36}{5}：\dfrac{44}{5} \)
\( =36：44 \)
\( =9：11 \)
