大分県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦3 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦3 \) になります。

全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数を \( x \) 人とすると，
母集団（全校生徒）\( 350 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( x \) 人の割合と
標本（無作為抽出で選ばれた生徒）\( 40 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( 28 \) 人の割合
は等しくなるので，
　\( 350：x=40：28 \)
　\( 350：x=10：7 \)
　　 \( 10x=2450 \)
　　　 \( x=245 \)
となり，全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数は \( 245 \) 人になります。

手順５の円と辺 \( OA \) の交点が求める点 \( P \) になります。

円を描くためには中心の場所を知ることが必要になります。

【線分 \( AB，BC \) の垂直二等分線の交点が円の中心になる理由】
\( AH，BH，CH \) はすべて円 \( H \) の半径なので，\( △HAB，△HBC \) は二等辺三角形になります。
ここから，点 \( H \) から線分 \( AB，BC \) に垂線をひくと，線分 \( AB，BC \) の中点を通ります。

\( O \) は原点，\( A(2，2) \) であることから，直線 \( OA \) の傾きは \( 1 \) であり，
平行な直線の傾きは等しいので，直線 \( BC \) の傾きも \( 1 \) になります。

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標の値は \( 8 \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　 \( 8=\dfrac{1}{2} \times x^2 \)
　\( x^2=16 \)
　\( x=±4 \)
図より，点 \( B \) の \( x \) 座標の値は正の値なので，
あてはまる \( x \) 座標の値は，\( x=4 \) になります。

直線 \( BC \) の傾きが \( 1 \) ということは，\( BC \) 間の \( x \) の増加量と \( y \) の増加量は
等しくなります。
点 \( B \) の座標が \( B(4，8)，C \) の \( x \) 座標は \( 0 \) であることから，
\( B \) → \( C \) の \( x \) の増加量は \( -4 \) なので，
\( C \) の \( y \) 座標の値は，\( 8-4=4 \) になります。

以上より，直線 \( AC \) は \( A(2，2)，C(0，4) \) を通るので，
この直線の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{2-4}{2-0}=-1 \)
であり，直線 \( AC \) の式は \( y=-x+4 \) になります。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OB \) は原点と \( B(4，8) \) を通るので，直線 \( OB \) の式は \( y=2x \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( 2t \) と表すことができます。

点 \( G \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点なので，
\( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができます。

このとき，\( EF=(-t+4)-2t=-3t+4，FG=2t-\dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができるので，
\( EF：FG=5：4 \) になるときの \( t \) の値は，
　\( (-3t+4)： \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right)=5：4 \)
　　　　　　　　\( 4(-3t+4)=5 \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right) \)
　　　　　　　　\( -12t+16=10t-\dfrac{5}{2}t^2 \)
　　　　　　　　\( -24t+32=20t-5t^2 \)
　　　　　　\( 5t^2-44t+32=0 \)
　　　　　　 \( (5t-4)(t－8)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　\( t=\dfrac{4}{5}，8 \)
点 \( E \) は，必ず線分 \( AC \) 上にあるので，\( 0≦t≦2 \) であることから，
あてはまる \( t \) の値は，\( t=\dfrac{4}{5} \)

点 \( E \) は，\( y=-x+4 \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=-\dfrac{4}{5}+4=\dfrac{16}{5} \)

以上より，点 \( E \) の座標は，\( E \left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{16}{5} \right) \)

［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の組み合わせを樹形図に書き出すと，
和が \( 6 \) になる組み合わせは \( 5 \) 通り，すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{36} \)

【コマのひっくり返し方】
・［操作１］のさいころの出た目が \( 1 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 5 \) の場合
　　［操作１］　●○○○○○ ･･･ 左端の \( 1 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 5 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 2 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 4 \) の場合
　　［操作１］　●●○○○○ ･･･ 左端から \( 2 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 4 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 3 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 3 \) の場合
　　［操作１］　●●●○○○ ･･･ 左端から \( 3 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 3 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 4 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 2 \) の場合
　　［操作１］　●●●●○○ ･･･ 左端から \( 4 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 2 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 5 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 1 \) の場合
　　［操作１］　●●●●●○ ･･･ 左端から \( 5 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端の \( 1 \) 枚をひっくり返す

さいころの出た目の和が同じであるとき，［操作１］，［操作２］で出た目の組み合わせが違っても，
上を向いている面の色が白色になる枚数と黒色になる枚数の組み合わせは同じになります。

さいころを２回投げたときの出る目の和は，\( 2 \) から \( 12 \) のいずれかであり，
それぞれの場合において，上を向いている面が白の枚数と黒の枚数は，下の表のようになります。

この中で，上を向いている面が白色となる枚数が，黒色となる枚数よりも多くなるのは，
さいころの目の和が \( 2，10，11，12 \) になるときです。

【とり天の定価】
「とり天」の仕入れ値は，１パック \( 300 \) 円，
利益は仕入れ値の６割つまり，\( 0.6 \) 倍で，\( 300 \times 0.6=180 \) 円
なので，定価は
　\( 300+180=480 \)（円）

【仕入れた数の関係】
「からあげ」と「とり天」を合わせて \( 200 \) パック仕入れたので，方程式で表すと，
　\( x+y=200 \) ･･･ ➀

【利益の関係】
●　「からあげ」\( x \) パックの実際の利益
問１より，「からあげ」１パックが定価で売れたときの利益は \( 200 \) 円です。
仕入れた「からあげ」（ \( x \) パック）の \( 80 \%(=0.8) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 200 \times x \times 0.8=160x \)（円）と表すことができます。
仕入れた「からあげ」の残りの \( 20 \%(=0.2) \) は定価の \( 200 \) 円引きで売れたということは，
利益が \( 200 \) 円減る，つまり，利益は \( 0 \) 円になります。
と表すことができ，「からあげ」全体の実際の利益は \( 160x \)（円）と表すことができます。

●　「とり天」\( y \) パックの実際の利益
問１より，「とり天」１パックが定価で売れたときの利益は \( 180 \) 円です。
仕入れた「とり天」（ \( y \) パック）の \( 70 \%(=0.7) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 180 \times y \times 0.7=126y \)（円）
仕入れた「とり天」の残りの \( 30 \%(=0.3) \) は定価（\( 480 \) 円）の半額で売れたということは，
１パック \( 240 \) 円で売れたということです。
「とり天」１パックの仕入れ値は \( 300 \) 円なので，１パックあたりの利益は \( 240-300=-60 \)円であり，
利益の合計は \( -60 \times y \times 0.3=-18y \)（円）
と表すことができ，「とり天」全体の実際の利益は \( 126y +(-18y)=108y \)（円）と表すことができます。

ここから，「からあげ」と「とり天」をあわせたの実際の利益は \( 160x+108y \)（円）と表すことができます。

●　「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益
１パックの利益が \( 200 \) 円の「からあげ」が \( x \) パック売れた場合の利益は \( 200x \)（円），
１パックの利益が \( 180 \) 円の「とり天」が \( y \) パック売れた場合の利益は \( 180y \)（円），
と表せるので，「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益は \( 200x+180y \)（円）と表すことができます。

「からあげ」と「とり天」を合わせた \( 200 \) パックの利益の合計は，
「からあげ」と「とり天」のすべてが定価で売れた場合の利益の合計よりも \( 10560 \) 円少なかったので，
方程式で表すと，
　\( (200x+180y)-(160x+108y)=10560 \)
　　　　　　　　　　　　\( 40x+72y=10560 \) ･･･ ➁

〔図１〕のヒストグラムから，度数が最も大きい階級は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級であり，
\( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級の階級値は \( \dfrac{27.0+27.5}{2}=27.25 \) 度

Ｂ 
範囲は箱ひげ図の端から端までの長さで表され，長い方が範囲が大きくなります。
期間２と期間３では，期間３の方が長くなっているので，範囲が大きくなっており，正しい。

Ｃ 
この箱ひげ図は，２５年ずつのデータを集計してつくられているので，
第１四分位数は気温の低い方から７番目の値，中央値は気温の高い方から１３番目の値，
第３四分位数は気温の高い方から７番目の値になります。
期間１の箱ひげ図では，
　第１四分位数は \( 26.0 \) 度以上 \( 26.5 \) 度未満の階級，
　中央値は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級，
　第３四分位数は \( 27.5 \) 度以上 \( 28.0 \) 度未満の階級
にあることから，\( 27.0 \) 度を下回った年，\( 27.5 \) 度を上回った年は，
どちらも８年以上１３年未満であることはわかりますが，
それ以上に詳しいデータの分布は箱ひげ図だけの情報ではわかりません。

箱ひげ図では，上の図のように，左右のひげの部分，箱の左右の部分にそれぞれ全体の約 \( 25\% \) のデータが含まれます。
このことから，箱の部分が右側にあるほど値が大きい傾向にあるといえます。

『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ことから，『期間４』の箱ひげ図の箱の部分が『期間１，期間２，期間３』の箱ひげ図の箱の部分より
右側（気温が高い側）にあるので，
『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえます。

よって，立体 \( OPQR-CDGTF \) の体積は，
　　四角すい \( A-OPQR-( \) 四角すい \( A-OPQR+ \) ，三角すい \( R-EST) \)
　\( =\dfrac{160}{3}-\left(\dfrac{20}{3}+\dfrac{10}{3}\right) \)
　\( =\dfrac{130}{3} \; (cm^3) \)

\( △ACD \) は正三角形であることから，
\( ∠ACD=60°，CD=AC=5 \; cm \) なので，
\( △BCD \) は \( ∠BCD=30°+60°=90° \) の
直角三角形になります。

\( △BCD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=BC^2+CD^2=4^2+5^2=41 \)
　 \( BD=\sqrt{41} \; (cm) \)（ \( AD>0 \) より）