大問１
（１） \( -8+3 \)
（２） \( 9 \div \left( -\dfrac{3}{2} \right) \)
（３） \( 3+6 \div 2 \)
（４） \( \sqrt{3} \times 2\sqrt{6} \)
（５） \( (-2a)^2 \times 5a^3 \)
（６） \( 5(2x-y)-2(3x-y) \)
大問２
次の に最も適する数や式を入れなさい。
（１） 一次方程式 \( 5x+3=4x-6 \) の解は，\( x= \) である。
（２） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} x+3y=-5 \\ 2x-y=4 \\ \end{array} \right. \) の解は， \( x= \) ，\( y= \) である。
（３） \( (x-3y)^2 \) を展開して整理すると， である。
（４） \( x^2-25 \) を因数分解すると， である。
（５） 二次方程式 \( x^2-7x+1=0 \) の解は， \( x= \) である。
（６） \( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \) の分母を有理化すると， である。
（７） 右の図のように円周上に４点 \( A，B，C，D \) があるとき， \( ∠x= \) ° である。
\( △ADE \) において，
\( ∠ADE=180°-(90°+25°)=65° \)
\( ∠ADE \) と \( ∠ACB \) はどちらも弧 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠x=∠ADE=65° \)
（８） 下の表は，ある中学生 \( 100 \) 人の靴のサイズを調べた結果である。
最頻値は， \( cm \) である。
（９） ある養殖池にいるエビの総数を調べるために，網でエビを捕獲した。捕獲したエビは \( 30 \) 匹で，これらのエビすべてに印をつけてから養殖池に戻した。\( 10 \) 日後再び同じ網で捕獲するとエビが \( 28 \) 匹とれ，その中に印のついたエビが \( 6 \) 匹いた。この養殖池にいるエビの総数はおよそ 匹と推定される。
大問３
下の図１は，札幌市，横浜市，那覇市について，２０２２年における，降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数をすべて調べ，箱ひげ図にまとめたものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。
問１ 那覇市の月ごとのデータについて，四分位範囲を求めなさい。
問２ 図１から読み取れることとして正しいものを次のア～エのうちからすべて選び，記号で答えなさい。
ア １年間に降った降水量が最も多いのは札幌市である。
イ 札幌市，横浜市，那覇市いずれも \( 9 \) 日以上の月が半数以上あった。
ウ 那覇市は \( 10 \) 日以上 \( 14 \) 日未満の月が \( 3 \) か月以上あった。
エ データの四分位範囲が最も小さいのは横浜市である。
問３ 下の表のデータは，宮古島市について，２０２２年における，降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数を小さい順に並べたものである。 宮古島市のデータを表した箱ひげ図を下の図２のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。
表 宮古島市の降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数(日)
\( \fbox{8 8 10 11 14 15 16 16 18 18 18 25} \)
大問４
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの4人がプレゼントを一つずつ持ちより，交換会を開く。プレゼントはすべて異なるものとし，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの4人が用意したプレゼントをそれぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとする。交換の方法は，外見が同じギフト箱を４人分用意し，各箱にプレゼントを一つずつ入れたうえで，よく混ぜて４人に箱を一つずつ配り，４人は配られた箱の中のプレゼントを受け取る。交換の結果によっては自分が用意したプレゼントを受け取ることもある｡
このとき，次の問いに答えなさい。
ただし，ギフト箱の配り方は，同様に確からしいものとする。
問１ プレゼントの受け取り方は全部で何通りあるか答えなさい。
全部で \( 24 \) 通りになります。
問２ Ａさんがａではないプレゼントを受け取る確率を求めなさい。
\( 18 \) 通りなので，求める確率は，\( \dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4} \)
問３ Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人全員が，自分で用意したプレゼントを受け取らない確率を求めなさい。
受け取らない組み合わせは\( 9 \) 通りなので，求める確率は，\( \dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8} \)
大問５
翔子さんの学校では，卒業の記念に文集を作成することにした。Ａ社とＢ社の文集作成にかかる代金を調べ，下の表にまとめた。
代金は基本料金と製本料金と印刷料金の合計金額とする。
例えば，\( 60 \) 冊注文した場合，Ａ社では \( 5000 +50 \times 60+30 \times 60=9800 \) であるため，代金は \( 9800 \) 円となり，Ｂ社では \( 10000+50 \times 60+30 \times 50=14500 \) であるため，代金は \( 14500 \) 円となる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。
問１ Ｂ社に \( 100 \) 冊注文するときの代金を求めなさい。
問２ Ａ社に \( x \) 冊注文するときの代金を \( y \) 円とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
問３ 翔子さんはＡ社とＢ社の文集作成にかかる代金を比較するため，卒業文集を \( x \) 冊注文するときの代金を \( y \) 円として \( x \) と \( y \) の関係を下の図のようにグラフで表した。このグラフから \( 150 \) 冊注文したときは，Ａ社の方が安いが，\( 250 \) 冊注文したときは，Ｂ社の方が安くなることが分かった。何冊以上の卒業文集を注文した場合にＢ社の方が安くなるか，最も小さな整数で答えなさい。
大問６
図１のように自然数を１段に５個ずつ並べた表がある。この表で，図２のような図形で5つの数を囲む。例えば， 図１の場合，上の数は \( 2 \)，左の数は \( 6 \)，真ん中の数は \( 7 \)，右の数は \( 8 \)，下の数は \( 12 \)となる。
健人さんは，囲まれた５つの数について，次の規則に従って計算した。その結果がどんな値になるかを調べた。
健人さんは囲みの場所を変え，いくつか計算した結果，次のように予想した。
<健人さんの予想１>
規則に従って計算すると，
\( 2，6，7，8，12 \) のとき，\( 6 \times 8-2 \times 12=48-24=24 \)
\( 9，13，14，15，19 \) のとき，\( 13 \times 15-9 \times 19=195-171=24 \)
\( 19，23，24，25，29 \) のとき， \( 23 \times 25-19 \times 29=575-551=24 \)
となるので，５つの数を図形で囲むとき，左の数と右の数の積から，上の数と下の数の積をひいた値は
いつでも \( 24 \) になる。
上記の<健人さんの予想１> が成り立つことは，次のように説明できる。
<説明>
上の数を \( n \) とすると，左の数は \( n+4 \)，右の数は \( n+6 \)，下の数は \( n+10 \) と表される。
よって，
\( (n+4)(n+6)-n(n+10)=(n^2+10n+24)-(n^2+10n) \)
\( =n^2+10n+24-n^2-10n \)
\( =24 \)
となる。したがって，図２のような図形で囲まれた５つの数について，左の数と右の数の積から，
上の数と下の数の積をひいた値はいつでも \( 24 \) になる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
問１ 健人さんは，図３においても図２のような図形で囲まれた５つの数について規則に従って計算した。囲みの場所を変え，いくつか計算した結果，次のように予想した。 にあてはまる最も適する値を答えなさい。
囲みの場所を変えても左の数と右の数の積から，上の数と下の数の積をひいた値はいつでも になる。
問２ <健人さんの予想２> が成り立つことを説明しなさい。
大問７
右の図のような \( △ABC \) がある。\( △ABC \) で辺 \( BC \) を底辺とみたときの高さを \( AP \) とするとき，点 \( P \) を定規とコンパスを使って作図しなさい。
ただし，点を示す記号 \( P \) をかき入れ，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
手順１ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( BC \) との交点を点 \( D，E \) とします。)
手順２ ２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします。)
手順３ ２点 \( A，F \) を通る直線を描く。
手順３の直線と辺 \( BC \) の交点が求める点 \( P \) になります。
大問８
右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。点 \( A \) の座標は \( (2，2) \) であり，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 4 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。
問１ \( a \) の値を求めなさい。
問２ 関数 \( y=ax^2 \) において，\( x \) の値が \( -2 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
問１より，この曲線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) であり，
\( x=-2 \) のときの \( y \) 座標の値は，
\( y=\dfrac{1}{2} \times (-2)^2=2 \)
\( x=4 \) のときの \( y \) 座標の値は，
\( y=\dfrac{1}{2} \times 4^2=8 \)
なので，
変化の割合 \( =\dfrac{8-2}{4-(-2)}=1 \)
問３ 関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( -2 \) である点 \( C \) をとる。このとき，２点 \( B，C \) を通る直線の式を求めなさい。
２点 \( B，C \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( 4，-2 \) なので，
問１より，直線 \( BC \) の傾きは \( 1 \)
直線 \( BC \) の式を \( y=x+b \) とすると，
\( B(4，8) \) を通るので，
\( 8=4+b \)
\( b=4 \)
よって，直線 \( BC \) の式は，\( y=x+4 \)
問４ \( y \) 軸上に点 \( P \) をとり，線分 \( AP \) と線分 \( BP \) の長さの和 \( AP+BP \) が最も小さくなるとき，\( AP+BP \) の長さを求めなさい。
点 \( A \) を \( y \) 軸に対して対称移動した点を
点 \( A’ \) とすると，\( AP=A’P \) なので，
\( AP+BP=A’P+BP \) であり，
この値が最も小さくなるとき，
３点 \( A’，P，B \) は一直線上に並びます。
つまり，２点 \( A’，B \) 間の距離が
求める \( AP+BP \) の長さとなります。
\( A(2，2) \) より，\( A’(-2，2) \) なので，
\( D(4，2) \) とすると，
\( △A’DB \) は \( A’D=BD=6 \) の
直角二等辺三角形であり，\( AB=6\sqrt{2} \)
大問９
下の図のように，点 \( P \) は線分 \( AB \) 上にある。\( PA=PQ，PB=PR，∠APQ=∠BPR=30° \) とする２つの二等辺三角形 \( △PAQ \) と \( △PBR \) を直線 \( AB \) に関して同じ側につくる。また，線分 \( AR \) と線分 \( BQ \) の交点を \( S \) とするとき，次の各問いに答えなさい。
問１ \( ∠QPR \) の大きさを求めなさい。
問２ \( △PAR≡△PQB \) を証明しなさい。
仮定より，\( PA=PQ \) ･･･ ➀
\( PB=PR\) ･･･ ➁
\( ∠APR=∠QPR+30° \) ･･･ ➂
\( ∠QPB=∠QPR+30° \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠APR=∠QPB \) ･･･ ➄
➀➁➄より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △PAR≡△PQB \)
問３ 次のア～エのうちいつでも正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。
ア ４点 \( P，B，R，S \) はすべて一つの円周上にある。
イ ４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある。
ウ \( ∠ASP=75° \) である。
エ \( ∠ARB=85° \) である。
問２より \( △PAR≡△PQB \) なので，\( ∠PRS＝∠PBS \)
ここから，この２つの角は，どちらも \( \stackrel{\huge\frown}{ PS } \) に対する円周角なので，
仮定とした「４点 \( P，B，R，S \) はすべて一つの円周上にある」は正しいといえます。
イ 「４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある」とすると，
問１より \( ∠QPR＝120° \)
\( △PAQ \) は頂角が \( 30° \) の二等辺三角形なので，\( ∠QAP=\dfrac{180°-30°}{2}=75° \)
ここから， \( ∠QAR=∠QAP-RAP=75°-∠RAP<75° \)
\( ∠QPR \) と \( ∠QAR \) は，どちらも \( \stackrel{\huge\frown}{ QR } \) に対する円周角のため，等しくなければならないので，
矛盾しています。
つまり，仮定とした「４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある」は正しくないといえます。
ウ \( △PAR≡△PQB \) より，\( ∠PAS＝∠PQS \) なので，
４点 \( A，P，S，Q \) はすべて一つの円周上の点になります。
\( △PAQ \) は頂角が \( 30° \) の二等辺三角形なので，\( ∠AQP=\dfrac{180°-30°}{2}=75° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ AP } \) に対する円周角なので，\( ∠ASP=∠AQP=75° \)
エ 「\( ∠ARB=85° \) である」がいつでも成り立つとすると，
\( ∠PRB=75° \) なので，\( ∠ARP=85°-∠PRB=10° \) であり，
\( PB’=PR’ \; (PB’<PB，PR’<PR) \) となるように \( B’，R’ \) をとるとき，
\( ∠AR’P=10° \) になります。
ここで，\( ∠AR’P \) は \( △ARR’ \) の外角なので，\( ∠RAR’=x \) とすると，
\( ∠AR’P=(10+x)° \) となり，矛盾しています。
よって，「\( ∠ARB=85° \) である」がいつでも正しいわけではありません。
大問１０
図１のように，先端にライトのついた柱が地面に対して垂直に立っており，周辺を照らしている。ただし，ライトが照らす範囲の地面に高低差はなく，照らす範囲の形は円とする。この円の中心を \( P \) とし，柱の先端を \( Q \) とする。
光輝さんはこの柱を支柱として，図２のような大型のテントを設営することを考えている。ただし，テントの形はライトが照らす範囲の円を底面，柱の先端 \( Q \) を頂点とする円錐とし，この円錐の側面を布で覆ったテントを設営する。なお，地面には布を敷かない。
光輝さんはライトが照らす自分の影を利用して，柱の高さ \( PQ \) とテントを張るのに必要な布の面積を求めようとしている。
光輝さんの身長は \( 1.6 \; m \) であり，地面に対して垂直に，まっすぐ立つものとする。
光輝さんは図１のように，ライトが照らす範囲の円周上に影の先端がくるような地点 \( A \) に立った。このとき２地点 \( P，A \) 間の距離を測ると \( 3 \; m \) であった。また，影の先端を \( B \) として影の長さ \( AB \) を測ると \( 2 \; m \) であった。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
問１ ライトが照らす範囲の円の円周の長さを求めなさい。
問２ 柱の高さ \( PQ \) を求めなさい。
光輝さんの頭のてっぺんを \( C \) として図１を書きなおすと，
右の図のようになり，\( △BAC \) ∽ \( △BPQ \) なので，
\( BA：BP=AC：PQ \)
\( 2：(2+3)=1.6：PQ \)
\( 2PQ=8 \)
\( PQ=4 \; (m) \)
問３ テントを張るのに必要な布の面積，すなわち円錐の側面積を求めなさい。
テントの布は，円すいの母線の長さを半径とするおうぎ形になります。
【母線の長さ】
\( △BPQ \) において，三平方の定理より
\( BQ^2=4^2+5^2=41 \)
\( BQ=\sqrt{41} \; (m) \) ( \( BQ>0 \) より)
【おうぎ形の中心角の比】
おうぎ形の弧の長さは底面の円周と等しいので，
\( 10\pi{} \; m \)
半径 \( \sqrt{41} \; m \) の円の円周の長さは
\( 2\pi{} \times \sqrt{41}=2\sqrt{41}\pi{} \; (m) \)
ここから，中心角の比は \( \dfrac{10\pi{}}{2\sqrt{41}\pi{}}=\dfrac{5}{\sqrt{41}} \)
よって，円すいの側面積は，
\( \pi{} \times (\sqrt{41})^2 \times \dfrac{5}{\sqrt{41}}=5\sqrt{41}\pi{} \; (m^2) \)
大問１１
桜子さんは次の 規則 にしたがって，たくさんあるビー玉を整理している。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の自然数とする。
規則
① まず，ビー玉を \( n \) 個ずつまとめて，それぞれ１つの袋に
入れる。ただし，\( (n-1) \) 個以下のビー玉が余った場合は
そのままにしておく。
② 次に，袋を \( n \) 個ずつまとめて，それぞれ１つの小箱に入れる。
ただし，\( (n-1) \) 個以下の袋が余った場合はそのままに
しておく。
規則 にしたがって，ビー玉を整理した結果を
右のような表にまとめる。
例えば \( n=3 \) のとき，\( 19 \) 個のビー玉を 規則 にしたがって整理した結果は，次のようになる。
例
① まず \( 19 \) 個のビー玉を \( 3 \) 個ずつまとめて，
それぞれ１つの袋に入れる。
袋が \( 6 \) 個できて，ビー玉は \( 1 \) 個余る。
② 次に \( 6 \) 個の袋を \( 3 \) 個ずつまとめて，
それぞれ１つの小箱に入れる。
小箱が \( 2 \) 個できて，袋は余らない。
よって，整理した結果をまとめた表は右のように
なる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
問１ \( n=3 \) のとき，規則 にしたがって \( 13 \) 個のビー玉を整理した結果を右の表にまとめなさい。
問２ \( n=3 \) のとき，規則 にしたがっていくつかあるビー玉を整理した結果をまとめると，右の表１のようになった。もとのビー玉の総数を求めなさい。
問３ 桜子さんは \( n \) の値を \( 3 \) から別の値に変えて，規則 にしたがって \( 52 \) 個のビー玉を整理した。その結果を表にまとめると，右の表２のようになった。このときの \( n \) の値を求めなさい。
