大問１
(1) \( (-4) \times 2 \) を計算しなさい。
(2) \( 5\sqrt{3}- \sqrt{27} \) を計算しなさい。
(3) 二次方程式 \( x^2-14x+49=0 \) を解きなさい。
(4) \( y \) は \( x \) に比例し、\( x=-2 \) のとき \( y=10 \) である。\( x \) と \( y \) の関係を式に表しなさい。
(5) 関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) について、 \( x \) の値が \( 2 \) から \( 6 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
(6) 赤玉３個，白玉２個，青玉１個がはいっている箱から，同時に２個の玉を取り出すとき，取り出した２個の玉の色が異なる確率を求めなさい。ただし，どの玉の取り出し方も，同様に確からしいものとする。
すべての場合の数は１５通りで，色が異なるのは１１通りなので，
求める確率は \( \dfrac{11}{15} \)
(7) ある式に \( 3a-5b \) をたす計算を間違えて，ある式から \( 3a-5b \) をひいてしまったために，答えが \( -2a+4b \) となった。正しく計算をしたときの答えを求めなさい。
(8) 右の図のように，\( ∠C=90°，∠D=120° \) の四角形 \( ABCD \) がある。同じ印をつけた角の大きさが等しいとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
(9) １から９までの９つの自然数から異なる４つの数を選んでその積を求めると，８１０になった。この４つの数をすべて書きなさい。
(10) 右の図のように，円柱と，その中にちょうどはいる球がある。円柱の高さが \( 4 \; cm \) であるとき，円柱の体積と球の体積の差を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
球は，円柱の中にちょうどはいるので，正面から見ると右の図のようになります。
球の高さと円柱の高さは等しいので，\( 4\; cm \)
左右も接しているので，円柱の底面は直径 \( 4\; cm \) の円であるとわかります。
円柱の体積 \( =\pi{} \times 2^2 \times 4=16\pi{} \; (cm^3) \)
球の体積 \( =\dfrac{4}{3} \times \pi{} \times 2^3=\dfrac{32}{3}\pi{} \; (cm^3) \)
なので，体積の差は，
\( 16\pi{}-\dfrac{32}{3}\pi{}=\dfrac{16}{3}\pi{} \; (cm^3) \)
大問２
右の図のように，２つの関数 \( y=x^2 \) と \( y=ax^2 (0<a<1) \) のグラフがある。関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \)，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に点 \( C \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 2 \)，点 \( B，C \) の \( x \) 座標は \( -3 \) である。(1)～(4) に答えなさい。
(1) 関数 \( y=x^2 \) のグラフと \( x \) 軸について線対称となるグラフの式を求めなさい。
(2) ２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。
(3) \( △ABC \) の面積を \( a \) を用いて表しなさい。
点 \( B，C \) の \( x \) 座標は \( -3 \) なので，\( y \) 座標の値は，
\( B \) ･･･ \( y=(-3)^2=9 \)
\( C \) ･･･ \( y=a \times (-3)^2=9a \)
なので，線分 \( BC \) の長さは，\( 9-9a \)
線分 \( BC \) を底辺とすると，高さは \( 2-(-3)=5 \)
よって，
\( △ABC=(9-9a) \times 5 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =\dfrac{45-45a}{2} \)
(4) 線分 \( AC \) と線分 \( OB \) との交点を \( D \) とし，点 \( E \) を \( y \) 軸上にとる。四角形 \( BDAE \) が平行四辺形となるとき， \( a \) の値を求めなさい。
点 \( B \) の座標は \( (-3，9) \) なので，線分 \( OB \) の式は \( y=-3x \)
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，線分 \( AE \) の式は \( y=-3x+b \) と表すことができます。
この直線は \( A(2，4) \) を通るので，
\( 4=-3 \times 2+b \)
\( b=10 \)
よって，\( E \) の座標は，\( E(0，10) \)
点 \( E \) から点 \( B \) までは
\( x \) 軸方向に \( -3 \)，\( y \) 軸方向に \( -1 \) 進むので，
点 \( A \) から点 \( C \)までは
\( x \) 軸方向に \( -5 \) 進むので，\( y \) 軸方向に \( -\dfrac{5}{3} \) 進みます。
よって，点 \( C \) の座標は，\( C \left(-3，\dfrac{7}{3} \right) \)
\( y=ax^2 \) に代入すると，
\( \dfrac{7}{3}=a \times (-3)^2 \)
\( a=\dfrac{7}{27} \)
大問３
ゆうきさんとひかるさんは，桜の開花日予想に興味をもち，数学の授業で学んだことを利用して，今年の桜の開花日を予想しようと話し合っている。(1)・(2)に答えなさい。
【話し合いの一部】
ゆうきさん 気象庁のホームページには，徳島県の桜の開花日のデータがあります。
それを使って過去４０年間の桜の開花日をヒストグラムに表すと，図１のようになりました。
ひかるさん 開花日が４月１日以降になった年が， ( ① ) 回ありますね。
ゆうきさん そうですね。ほかにも，３月２５日から２９日の５日間に開花する回数が多いことが
読みとれます。この５日間に開花した割合を求めると ( ② ) ％ですね。
ひかるさん もっと開花日を正確に予想したいですね。
ゆうきさん 開花日には気温が関係しているかもしれませんね。
ひかるさん インターネットで調べてみると，気温を用いた予想方法が２つ見つかりました。
４００℃の法則と６００℃の法則という予想方法です。
ゆうきさん それは，どんな法則ですか。
ひかるさん どちらも２月１日を基準とする考え方です。４００℃の法則は，２月１日以降その日の平均気温を
毎日たしていき，合計が４００℃以上になる最初の日を開花予想日とします。６００℃の法則は，
２月１日以降その日の最高気温を毎日たしていき，合計が６００℃以上になる最初の日を
開花予想日とします。
ゆうきさん どちらの法則の方が正確に予想できるのでしょうか。
ひかるさん それぞれの法則で過去の開花予想日を求め，実際の開花日と比べてみましょう。
その誤差をまとめると，どちらの法則の方が正確に予想できるかを調べることができます。
ゆうきさん なるほど。気象庁のホームページには，日々の気温のデータもあります。
そのデータを用いて２０２２年の開花予想日を求めると，いつになりますか。
ひかるさん 平均気温の合計が４００℃以上になる最初の日は，３月２４日でした。
だから，４００℃ の法則を使えば，開花予想日は３月２４日となります。
また，６００℃の法則を使えば，開花予想日は３月２２日となります。
ゆうきさん 実際の開花日は３月２５日だったので，４００℃の法則での誤差は１日，６００℃の法則での
誤差は３日ですね。
ひかるさん ほかの年ではどうなっているのでしょうか。２人で手分けして４０年間分の誤差を求め，
それをヒストグラムに表して，どちらの法則の方が正確に予想できるか考えてみましょう。
(1) 【話し合いの一部】の ( ① )・( ② ) にあてはまる数を，それぞれ書きなさい。
図１のヒストグラムから数えると，８(回)
( ➁ )
３月２５日から２９日の５日間に開花したのは２０回，
全部で４０年（４０回）分の統計を取っているので，
\(\dfrac{20}{40} \times 100=50 (％) \)
(2) 図２，図３は，４０年間の気温のデータを用いて各法則で求めた開花予想日と，実際の開花日との誤差をヒストグラムに表したものである。(a)・(b)に答えなさい。ただし，誤差は絶対値で表している。
(a) この２つのヒストグラムから読みとれることとして正しいものを，ア〜エからすべて選びなさい。
ア 最頻値は，図２より図３の方が大きい。
イ 予想が的中した回数は，図２，図３とも同じである。
ウ 誤差が１０日以上になる割合は，図２より図３の方が小さい。
エ 誤差が３日までの累積相対度数は，図２，図３とも同じである。
(b) ゆうきさんとひかるさんは，図２，図３のヒストグラムだけでは，どちらの法則の方が正確に開花日を予想できるのかを判断することが難しいと考え，箱ひげ図で比較することにした。図４は，図２，図３を作成するためにもとにしたデータを，箱ひげ図に表したものである。
ゆうきさんとひかるさんは，この２つの箱ひげ図から「４００℃の法則の方が正確に開花日を予想できそうだ」と判断した。そのように判断した理由を，２つの箱ひげ図の特徴を比較して説明しなさい。
大問４
生徒会役員のはるきさんたちは，次の【決定事項】をもとに文化祭の日程を考えている。(1)・(2) に答えなさい。
【決定事項】
・ 文化祭は学級の出し物から始まり，学級の出し物の時間はすべて同じ長さとする。
・ 学級の出し物の間には入れ替えの時間をとり，その時間はすべて同じ長さとする。
・ すべての学級の出し物が終わった後に昼休みを６０分とり，
その後，吹奏楽部の発表とグループ発表を行う。
・ グループ発表の時間はすべて同じ長さとする。
・ 昼休み以降の発表の間には，入れ替えの時間をとらず，発表の時間に含める。
(1) はるきさんたちは，次の【条件】をもとに文化祭のタイムスケジュールをたてることにした。(a)・(b) に答えなさい。
【条件】
・ 学級の出し物を５つ，グループ発表を１０グループ とする。
・ 学級の出し物の時間は，入れ替えの時間の４倍とし，吹奏楽部の発表の時間を４０分とする。
・ 最初の学級の出し物が午前１０時に始まり，最後の学級の出し物が正午に終わるようにする。
・ 最後のグループ発表が午後３時に終わるようにする。
(a) 学級の出し物の時間と入れ替えの時間は，それぞれ何分か，求めなさい。
(b) グループ発表の時間は何分か，求めなさい。
(2) はるきさんたちは，学級の出し物の数を変更し，条件を見直すことにした。次の【見直した条件】をもとに，受け付けできるグループ発表の数について検討をしている。(a)・(b) に答えなさい。
【見直した条件】
・ 学級の出し物は７つとし，学級の出し物の入れ替えの時間は８分とする。
・ 吹奏楽部の発表の時間は，学級の出し物の時間の３倍とする。
・ グループ発表の時間は７分とする。
・ 最初の学級の出し物が午前９時４０分に始まる。
・ 最後のグループ発表が午後３時２０分までに終わる。
(a) 最後のグループ発表が午後３時２０分ちょうどに終わるとき，学級の出し物の時間を \( a \) 分，グループ発表の数を \( b \) グループとして，この数量の関係を等式で表しなさい。
このとき，１回８分の入れ替えが６回発生するので，かかる時間は \( 48 \) 分
昼休みは６０分
吹奏楽部の発表の時間は，学級の出し物の時間の３倍なので， \( 3a \) 分
１つ７分のグループ発表を \( b \) 個行うときにかかる時間は \( 7b \) 分
これらのイベントを午前９時４０分から午後３時２０分までの５時間４０分（３４０分）の間に行うので，
等式で表すと，
\( 7a+48+60+3a+7b=340 \)
\( 10a+7b=232 \)
(b) 学級の出し物の時間を１５分とするとき，グループ発表は，最大何グループまで受け付けできるか，求めなさい。
大問５
右の図のように，すべての辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角錐 \( OABC \) がある。辺 \( OB \) 上に点 \( D \) をとり，辺 \( BC \) の中点を \( M \) とする。\( OD=4 \; cm \) のとき， (1)～(4) に答えなさい。
(1) 正三角錐 \( OABC \) で，辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺はどれか，書きなさい。
(2) \( △OAD \) ∽ \( △BMD \) を証明しなさい。
正三角錐のすべての面は正三角形なので，
\( ∠AOD=∠MBD=60° \) ･･･ ①
\( △OAB \) は正三角形なので，
\( OB=OA=6 \; cm \) ･･･ ②
仮定より \( OD=4 \; cm \) なので，
\( BD=OB-OD=2 \; cm \) ･･･ ➂
②➂より，\( OD：BD=4：2=2：1 \) ･･･ ➃
仮定より，
\( BM=\dfrac{1}{2}BC=3 \; cm \) ･･･ ➄
仮定より，
\( OA=6 \; cm \) ･･･ ➅
➄➅より，
\( OA：BM=6：3=2：1 \) ･･･ ➆
①④➆より，２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，\( △OAD \) ∽ \( △BMD \)
(3) \( AD+DM \) の長さを求めなさい。
(2) より，\( △OAD \) ∽ \( △BMD \) なので，
\( ∠AOD=∠MBD \)
対頂角が等しいので，
３点 \( A，D，M \) は一直線上にあります。
点 \( M \) から辺 \( AB \) の延長線に垂線をひき，交点を点 \( E \) とすると，
\( ∠ABD=∠MBD=60° \) より，
\( ∠MBE=180°-(∠ABD+∠MBD)=60° \)
よって，\( △MBD \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
\( BE=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{3}{2} \; cm \)
\( EM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BM=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
\( △AEM \) において，三平方の定理より，
\( AM^2=EM^2+AE^2 \; cm \)
\( =\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left( 6+\dfrac{3}{2} \right)^2 \)
\( =\dfrac{27}{4}+\dfrac{225}{4} \)
\( =63 \)
\( AM=3\sqrt{7} \; (cm) \)
\( AD+DM=AM=3\sqrt{7} \; (cm) \)
(4) 辺 \( OC \) 上に点 \( P \) をとる。４点 \( O，A，D，P \) を頂点とする立体 \( OADP \) の体積が正三角錐 \( OABC \) の体積の \( \dfrac{2}{7} \) 倍であるとき，線分 \( OP \) の長さを求めなさい。
面 \( OBC \) と面 \( ODP \) は同一平面にあるので，
これらを底面と考えると，立体 \( OADP \) と正三角錐 \( OABC \) は，
高さが共通になっています。
このとき，\( △ODP \) と \( △OBC \) の比が，
立体 \( OADP \) と正三角錐 \( OABC \) の体積比になります。
つまり，\( △ODP：△OBC=2：7 \) となるときの
線分 \( OP \) の長さを求めればいいことになります。
\( △OBC \) に注目すると，\( △ODP：△OBC=2：7 \) より，
\( △ODP= \) ② とするとき，\( △OBC= \) ⑦ になります。
このとき，四角形 \( BCPD=△OBC-△ODP= \) ➄ になります。
また，\( OD=4 \; cm，DB=2 \; cm \) なので，
\( △BDC：△OBC=1：3 \)
\( △BDC： \) ⑦ \( =1：3 \)
\( 3△BDC= \) ⑦
\( △BDC= \) ○\(\dfrac{7}{3}\)
注：○\(\dfrac{7}{3}\) は，\(\dfrac{7}{3}\) を○で囲んだものと考えてください。
よって，
\( △PDC= \) 四角形 \( BCPD-△BDC \)
\( = \) ➄ \( – \) ○\( \dfrac{7}{3} \)
\( = \) ○\( \dfrac{8}{3} \)
\( △ODP：△PDC= \) ②：○\( \dfrac{8}{3}=3：4 \)
\( △ODP \) と \( △PDC \) は，高さが共通なので，
\( OP：PC=△ODP：△PDC=3：4 \)
よって，
\( OP=\dfrac{3}{7}OC=\dfrac{18}{7} \; (cm) \)
