富山県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

a，b それぞれの値に対して差がいくつになるかを表に書いて，
差が３となるマスに○をつけます。
すべての場合の数が３６マス，○がついたマスは６マスなので，
求める確率は，\( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

平行四辺形のとなりあう角の和は１８０°なので，\( ∠ABC=80° \)
\( BE \) は \( ∠ABC \) の二等分線なので，\( ∠EBC=40° \)
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，錯角が等しく，
\( ∠AEB=∠EBC=40° \)
よって，\( ∠x=180°-∠EBC=140° \)

手順１　円と交わるように直線をひく（交点を点 \( A，B \) とする ）
手順２　点 \( A，B \) を中心に同じ半径で弧を描く
手順３　手順２の弧の交点を結ぶ直線を描く

\( AB \) と \( y \) 軸の交点を点 \( C \) とし，
\( △OAB=△OAC+△OBC \) として考えます。

\( A(-4，8)，B(2，2) \) なので，直線 \( AB \) の式は
\( y=-x+4 \) になります。

\( △OAC \) と \( △OBC \) の底辺を \( OC \) とすると，
高さは，\( 4 \) と \( 2 \) になるので，
\( △OAB=△OAC+△OBC \)
\( =4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}+4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =12 \)

求める直線と直線 \( AB \) の交点を点 \( D \) とすると，
\( △OAD \) と \( △OBD \) は，高さが共通なので，
面積が等しくなる時，底辺の長さも等しくなります。
つまり，点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点になります。

\( A(-4，8)，B(2，2) \) なので， \( AB \) の中点の
\( x \) 座標は，\( \dfrac{-4+2}{2}=-1 \)
\( y \) 座標は，\( \dfrac{8+2}{2}=5 \)

よって，求める直線は原点と \( D(-1，5) \) を通るので，
この直線の式は， \( y=-5x \)

Ｐ組の生徒数は２５人なので，中央値になるのは，
少ない方から１３番目の値になります。
Ｐ組の度数分布表において，累積度数を考えると，
１０日 以上１５日未満の階級で１２なので，
中央値（１３番目の値）がふくまれる階級は，
「１５日 以上２０日未満」になります。

右図のように点 \( A \) から底面に垂線をひき，
交点を \( C \) とすると，\( AC \) の長さは高さと等しいので，
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　　\( =10^2-1^2 \)
　　　　\( =99 \)
　 \( AC=3 \sqrt{11} \; (cm) \)　(\( AC>0 \)より)

切る前の円すいを 円すい \( Q \) ，切りとった円すいを円すい \( R \) とすると，\( P=Q-R \) となります。

右の図のように点 \( D，E，F \) をとると，
\( △DAE \)∽\( △DBF \) で相似比は \( 2：3 \) なので，
\( DE：DF=2：3 \) より，\( DE：EF=2：1 \)
　\( DE：3 \sqrt{11}=2：1 \)
　　　　　\( DE=2 \times 3\sqrt{11} \)
　　　　　　　\( =6\sqrt{11} \; (cm) \)

よって，
　\( Q=\pi{} \times 3^2 \times (6\sqrt{11}+3\sqrt{11}) \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =27\sqrt{11}\pi{} \; (cm^3) \)
　\( R=\pi{} \times 2^2 \times 6\sqrt{11} \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =8\sqrt{11}\pi{} \; (cm^3) \)
　\( P=Q-R=19\sqrt{11}\pi{} \; (cm^3) \)

\( 0≦y≦40，40≦y≦80，80≦y≦200 \) でそれぞれ底面積が変わるので，別々に考えます。

● \( 0≦y≦40 \)
表より，\( x=5 \) のとき，\( y=20 \) なので，
\( y=40 \) になるのは，\( x=10 \) のとき

● \( 40≦y≦80 \)
\( BF=2BE \) より，底面積は \( 0≦y≦40 \) の場所の２倍。
給水される水の量は同じで底面積が２倍になっているので，
水面の高さが \( 40 \: cm \) 高くなるのにかかる時間も２倍になります。
よって，\( y=80 \) になるのは，\( x=30 \) のとき

● \( 80≦y≦200 \)
表より，\( y=200 \) になるのは，\( x=50 \) のとき

原点とこれらの点を直線で結ぶと，右のようになります。

(2) のグラフより，水面の高さが \( 100 \: cm \) になるのは，
● のところです。
グラフの赤の直線は，\( (30，80)，(50，200) \) を通っているので，
　傾き \( =\dfrac{200-80}{50-30}=6 \)
この直線の式を \( y=6x+b \) とし，
\( x=50，y=200 \) を代入すると，
　\( 200=6 \times 50+b \)
　　\( b=-100 \)
なので，この直線の式は \( y=6x-100 \)
\( y=100 \) を代入すると，
　\( 100=6x-100 \)
　　\( x=\dfrac{100}{3} \)
よって，水面の高さが \( 100 \: cm \) になるのは，\( \dfrac{100}{3}=33\dfrac{1}{3} \) 分後。
\( \dfrac{1}{3} \) 分を秒になおすと，
６０秒の \( \dfrac{1}{3} \) なので，\( 60 \times \dfrac{1}{3}=20 \) 秒後。

\( △ACE \) と \( △BCF \) において，
仮定より，\( AC=BC \) ･･･ ①
弧 \( CD \) の円周角なので，\( ∠CAE=∠CBF \) ･･･ ➁
直径 \( AB \) の円周角なので，\( ∠ACE=90° \) ･･･ ➂
点 \( C \) は，直線 \( AF \) 上の点なので，
\( ∠BCF=180°-∠ACE=180°-90°=90° \) ･･･ ④
➂④より，\( ∠ACE=∠BCF=90° \) ･･･ ➄
①②➄より，１組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しいので，
\( △ACE≡△BCF \)

\( ∠CAE=∠DBE，∠CEA=∠DEB \) より，
\( △ACE \) ∽ \( △BDE \)
\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，\( AC=\dfrac{1}{ \sqrt{2}}AB \)
\( ∠BAD=∠BAC-∠CAE=30°，∠ADB=90° \) より，
\( △ABD \) は  \(30°，60°，90\) の直角三角形なので，
\( BD=\dfrac{1}{2}AB \)
よって， \( △ACE \) と \( △BDE \) の相似比は，
\( AC：BD＝\dfrac{1}{ \sqrt{2}}AB：\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{2}：1 \)
相似な三角形の面積比は，相似比の２乗の比と等しいので，
\( △ACE：△BDE=(\sqrt{2})^2：1^2=2：1 \)

\( △ABF \) の面積は \( △ABE \) の面積の２倍なので，
　\( △ABE= \)四角形 \( AEBF \)

(1) より，\( △ACE≡△BCF \) なので，
　\( △ACE=\dfrac{1}{2} \) 四角形 \( AEBF =\dfrac{1}{2}△ABE \)

よって，\( △ACE：△ABE=1：2 \)

\( △ACE \) と \( △ABE \) は，高さ \( CA \) が共通なので，
　\( CE：EB=△ACE：△ABE=1：2 \)
\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，\( AC=BC=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times 6=3\sqrt{2} \: (cm) \)
\( CE：EB=1：2 \) より，\( CE=\dfrac{1}{3}AB=\sqrt{2} \: cm \)，\( EB=\dfrac{2}{3}AB=2\sqrt{2} \: (cm) \)
\( △ACE \) において，三平方の定理より，
　\( AE^2=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=20 \)
　\( AE=2\sqrt{5} \: (cm) \)