大問１
(1) \( (-8) \div 4 \) を計算しなさい。
(2) \( \dfrac{5}{2}+(-\dfrac{7}{3}) \) を計算しなさい。
(3) \( 4(8x-7) \) を計算しなさい。
(4) \( a=-2，b=9 \) のとき，\( 3a+b \) の値を求めなさい。
(5) \( (\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+5) \) を計算しなさい。
大問２
(1) 二次方程式 \( (x-2)^2-4=0 \) を解きなさい。
(2) 右の図の円 \( O \) で，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
弧 \( AD \) に対する円周角なので，\( ∠ABE=∠ACD \)
\( △ABE \) において，
\( x+62°+87°=180° \)
\( x=31° \)
(3) 関数 \( y=-2x^2 \) について，次の \( \fbox{ ア } ， \fbox{ イ } \) にあてはまる数を求めなさい。
\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域は \( \fbox{ ア } ≦y≦ \fbox{ イ } \) となる。
関数 \( y=ax^2 (a<0) \) において，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の変域の最大値は必ず \( 0 \) になります。
また，グラフは，\( y \) 軸に対して対称な形になっているので，
\( x \) の絶対値が最大になるときに \( y \) の値は最小値になります。
\( -2≦x≦1 \) の範囲で，\( x \) の絶対値が最大になるのは
\( x=-2 \) のときなので，\( y \) の最小値は，
\( y=-2 \times (-2)^2=-8 \)
よって，\( y \) の変域は \( -8≦y≦0 \) となります。
(4) 右の表は，ある中学校のウェブページについて，１日の閲覧数を３０日間記録し，度数分布表にまとめたものである。
この度数分布表から１日の閲覧数の最頻値を答えなさい。
大問３
(1) 「１個あたりのエネルギーが \( 20 \) kcal のスナック菓子 \( a \) 個と，１個あたりのエネルギーが \( 51 \) kcal のチョコレート菓子 \( b \) 個のエネルギーの総和は \( 180 \) kcal より小さい」という数量の関係を，不等式で表しなさい。
(2) チョコレートにはカカオが含まれている。チョコレート全体の重さに対するカカオの重さの割合をカカオ含有率とし，次の式で表す。
\( カカオ含有率(％)＝\dfrac{カカオの重さ}{チョコレート全体の重さ} \times 100 \)
カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートと，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートを混ぜて，カカオ含有率 \( 40％ \) のチョコレートを \( 200 \; g \) 作る。
このとき，カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートの重さを \( x \; g \) ，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートの重さを \( y \; g \) として連立方程式をつくり，カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートの重さと，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートの重さをそれぞれ求めなさい。
大問４
(1) 図のように，半径 \( 6 \; cm \) で中心角 \( 60° \) であるおうぎ形を \( A \)，半径 \( 6 \; cm \) で弧の長さが \( 6 \; cm \) であるおうぎ形を \( B \)，一辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形を \( C \) とする。
\( A，B，C \) の面積について，次の ａ ， ｂ にあてはまる語句の組み合わせとして正しいものを，下のア〜エから1つ選び，記号で答えなさい。
・\( A \) の面積よりも \( B \) の面積の方が ａ 。
・\( A \) の面積よりも \( C \) の面積の方が ｂ 。
ア ａ ：大きい ｂ ：大きい
イ ａ ：大きい ｂ ：小さい
ウ ａ ：小さい ｂ ：大きい
エ ａ ：小さい ｂ ：小さい
【\( A \) と \( B \) の面積の比較】
\( A \) の弧の長さは，\( 2\pi{} \times 6 \times \dfrac{60}{360}=2\pi{} \; (cm) \)
\( 2\pi{}≒2 \times 3.14=6.28 \; (cm) \) なので，
\( B \) の弧の長さは\( A \) より短くなっています。
弧の長さと中心角の大きさは比例するので，
\( B \) の中心角は\( A \) より小さくなっています。
おうぎ形の面積は，\( 2\pi{} \times 半径 \times \dfrac{中心角}{360} \)
で求められるので，半径が等しいとき，
おうぎ形の面積は中心角に比例します。
よって，\( A \) の面積よりも \( B \) の面積の方が 小さい
【\( A \) と \( C \) の面積の比較】
\( C \) は一辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形なので，
内角はすべて \( 60° \) であり，\( A \) のおうぎ形から斜線部分を取り除いた形になっています。
よって，\( A \) の面積よりも \( C \) の面積の方が 小さい
(2) ある店では，１個 \( 400 \) 円のＭサイズのカステラと１個 \( 1600 \) 円のＬサイズのカステラを販売している。この店で販売しているカステラを直方体とみなしたとき，Ｌサイズのカステラは，Ｍサイズのカステラの縦の長さ，横の長さ，高さをすべて \( \dfrac{5}{3} \) 倍したものになっている。
\( 1600 \) 円でＭサイズのカステラを４個買うのと，\( 1600 \) 円でＬサイズのカステラを１個買うのとでは，どちらが割安といえるか。説明しなさい。
ただし，同じ金額で買えるカステラの体積が大きい方が割安であるとする。
Ｍサイズのカステラを４個とＬサイズのカステラを１個の体積を比較します。
Ｍサイズのカステラの縦の長さを \( L \)，
横の長さを \( W \)，高さを \( H \) とすると，
Ｌサイズのカステラの縦の長さは \( \dfrac{5}{3}L \)，
横の長さは \( \dfrac{5}{3}W \)，高さは \( \dfrac{5}{3}H \)
と表すことができます。
このとき，Ｍサイズのカステラの体積は \( LWH \) と表せるので，４個分の体積は \( 4LWH \) になります。
また，Ｌサイズのカステラの体積は \( \dfrac{5}{3}L \times \dfrac{5}{3}W \times \dfrac{5}{3}H=\dfrac{125}{27}LWH=4\dfrac{17}{27}LWH \)
よって，Ｌサイズのカステラ１個の体積はＭサイズのカステラを４個分より大きいので，
Ｌサイズのカステラ１個を買う方が割安になっています。
大問５
Ｔさんが通う中学校では，毎年１０月に各生徒の１週間の総運動時間（授業等を除く）を調査している。図は，その調査のうち，Ｔさんが所属する学年の生徒５０人について，令和２年，令和３年，令和４年の各データを箱ひげ図に表したものである。
次の(1) ，(2)に答えなさい。
(1) 図から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから1つ選び，記号で答えなさい。
ア すべての年で，１週間の総運動時間の最小値は３０分となっている。
イ １週間の総運動時間の四分位範囲は年々小さくなっている。
ウ すべての年で，１週間の総運動時間が１００分以上の人は２５人以上いる。
エ 令和４年の１週間の総運動時間が１５０分以上の人数は，令和２年の１週間の総運動時間が２１０分以上の人数の２倍である。
(2) Ｔさんは，図を見て，運動時間を増やしたいと考え，週に１回運動をする企画を立てた。そこで，種目を決めるためにアンケートを行い，その結果から人気のあった５種目をあげると，表のようになった。ただし，表の●は球技を表すものとする。
表の５種目の中から２種目を選ぶため，➀，➁，➂，➃，➄ の番号が１つずつかかれた５枚のくじを用意し，次の選び方Ａと選び方Ｂを考えた。
選び方Ａ
・１つの箱を用意し，５枚のくじを入れる。
・箱の中のくじをよくかきまぜ，同時に２枚のくじを引く。
選び方Ｂ
・２つの箱を用意し，くじをグラウンドの種目と体育館の種目に分け，それぞれの箱に入れる。
・箱の中のくじをよくかきまぜ，それぞれの箱から１枚ずつくじを引く。
選んだくじが２枚とも球技である確率は，選び方Ａと選び方Ｂではどちらが高いか。それぞれの選び方での確率を求めるまでの過程を明らかにして説明しなさい。
選んだくじの組み合わせを樹形図で表し，２枚とも球技になる組み合わせに ○ をつけると，
すべての組み合わせが１０通り，２枚とも球技になるのは３通りなので，
確率は \( \dfrac{3}{10} \)
【選び方Ｂの場合】
選んだくじの組み合わせを樹形図で表し，２枚とも球技になる組み合わせに ○ をつけると，
すべての組み合わせが６通り，２枚とも球技になるのは２通りなので，
確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)
よって，選んだくじが２枚とも球技である確率は，選び方Ｂの方が高い。
大問６
Ｔさんは道路を走る車のナンバープレートを見て，自然数について考えた。次の(1) ，(2)に答えなさい。
(1) Ｔさんは図１のようなナンバープレートを見て，「２けたの数 \( 71 \) から２けたの数 \( 17 \) をひいた式」と読み，「 \( 71-17=54 \) 」になると考えた。また，\( 17 \) が \( 71 \) の十の位の数と一の位の数を入れかえた数であることに気づき，次のような問題をつくった。
問題
２けたの自然数には，その数から，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数をひくと \( 54 \) となるものがいくつかある。このような２けたの自然数のうち，最大の自然数を答えなさい。
問題の答えとなる自然数を求めなさい。
(2) 後日，Ｔさんは図２のようなナンバープレートを見て，連続する４つの偶数について，次のように考えた。
連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひく。例えば，連続する４つの偶数が，
\( 2，4，6，8 \) のとき，
\( 6×8-2×4=48-8=40=8×5 \) ，
\( 4，6，8，10 \) のとき，
\( 8×10-4×6=80-24=56=8×7 \) ，
\( 6，8，10，12 \) のとき，
\( 10×12-6×8=120-48=72=8×9 \) となる。
Ｔさんはこの結果から，次のように予想した。
予想
連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，８の倍数である。
Ｔさんは，この予想がいつでも成り立つことを次のように説明した。次の に式や言葉を適切に補い，Ｔさんの説明を完成させなさい。
説明
\( n \) を自然数とすると，連続する4つの偶数は \( 2n，2n+2，2n+4，2n+6 \) と表される。これらの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，
したがって，連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，８の倍数である。
大問７
(1) 図１のように，\( AC=BC \) の直角二等辺三角形 \( ABC \) があり，辺 \( BC \) の \( C \) の方に延長した半直線 \( BC \) をひく。 \( AC=2 \) としたとき，半直線 \( BC \) 上にあり、\( BP=1+\sqrt{5} \) となる点 \( P \) を定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ 点 \( B，C \) を中心に同じ半径の弧を描く
（交点を点 \( E，F \) とします）
手順２ 点 \( E，F \) を通る直線を描く
（半直線 \( BC \) との交点を点 \( D \) とします）
手順３ 点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする弧を描く
手順３の弧と半直線 \( BC \) との交点が点 \( P \) になります。
線分 \( BC \) の中点を点 \( D \) とすると，
\( △ADC \) は，\( AC=2，CD=1 \) の直角三角形なので，
三平方の定理より，\( AD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \)
点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする弧を描き，
半直線 \( BC \) との交点を点 \( P \) とすると，
\( DP=AD=\sqrt{5} \) なので，
\( BP=BD+DP=1+\sqrt{5} \)
(2) 図２のように，\( AC=BC \) の直角二等辺三角形 \( ABC \) があり，辺 \( AC \) の延長上に，線分 \( CD \) の長さが辺 \( AC \) の長さより短くなる点 \( D \) をとる。また，点 \( A \) から線分 \( BD \) に垂線 \( AE \) をひき，線分 \( AE \) と辺 \( BC \) の交点を \( F \) とする。このとき，\( AF=BD \) を証明しなさい。
\( △AFC \) と \( △ADE \) において，
仮定より，\( ∠ACF=∠AED=90° \) ･･･ ➀
\( ∠Ａ \) は共通 ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AFC \) ∽ \( △ADE \)
対応する角は等しいので，\( ∠AFC=∠ADE \) ･･･ ➂
\( △AFC \) と \( △BDC \) において，
仮定より，\( AC=BC \) ･･･ ➃
３点 \( A，C，D \) は一直線上にあるので，
\( ∠ACF=∠BCD=90° \) ･･･ ➄
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
\( ∠FAC=180°-(∠AFC+∠ACF) \) ･･･ ⑥
\( ∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD) \) ･･･ ⑦
➂➄➅⑦より，\( ∠FAC=∠DBC \) ･･･ ⑧
➃➄⑧より，１組の辺とその両端の角が等しいので，
\( △AFC \) ≡ \( △BDC \)
対応する辺は等しいので，\( AF=BD \)
大問８
(1) 図１において，直線 \( l \) は，\( a<0 \) である関数 \( y=ax-1 \) のグラフである。直線 \( l \) と同じ座標軸を使って，関数 \( y=bx-1 \) のグラフである直線 \( m \) をかく。\( a<b \) のとき，図１に直線 \( m \) をかき加えた図として適切なものを，下のア〜エから1つ選び，記号で答えなさい。
\( y=ax-1 \) と \( y=bx-1 \) は切片の値が等しいので，
ア〜エのうち，切片が等しくなっているのはアとウ。
次に傾きの大きさを考えると，
直線 \( m \) も右下がりの直線なので，\( b<0 \) であるとわかります。
右下がりの直線では，傾きの値が大きいほど水平に近い直線に
なるので，\( a<b \) より，直線 \( m \) の方が水平に近くなります。
よって，あてはまるのは ア
例として，\( y=-x \) と \( y=-\dfrac{1}{2}x \) のグラフを書いてみます。
\( -1<-\dfrac{1}{2} \) であり，傾きの値が大きいほど水平に近い直線になっています。
(2) 図２のように，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，それぞれの \( x \) 座標が \( -3，1 \) である。また，四角形 \( ACBD \) は，線分 \( AB \) を対角線とし，辺 \( AD \) と \( x \) 軸が平行であり，辺 \( AC \) と \( y \) 軸が平行である長方形である。このとき，長方形 \( ACBD \) の面積を２等分し，傾きが \( \dfrac{1}{2} \) である直線の式を求めなさい。
つまり，線分 \( AB \) の中点を通り，傾きが \( \dfrac{1}{2} \) である直線の式を求めればいいことになります。
点 \( A \) の \( y \) 座標は，\( y=(-3)^2=9 \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( y=1^2=1 \)
なので，線分 \( AB \) の中点の座標は \( \left( \dfrac{-3+1}{2}，\dfrac{9+1}{2} \right)=(-1，5) \) になります。
求める直線の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とし，\( x=-1，y=5 \) を代入すると，
\( 5=\dfrac{1}{2} \times (-1)+b \)
\( b=\dfrac{11}{2} \)
よって， 求める直線の式は，\( y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2} \)
平行四辺形 \( ABCD \) において，対角線の交点を点 \( O \) とすると，
対角線はそれぞれの中点で交わるので，\( BO=DO \) ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は平行であり，錯角は等しいので，
\( ∠OBF=∠ODE \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，\( ∠BOF=∠DOE \) ･･･ ➂
➀➁➂より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △OBF≡△ODE \)
同様に，\( △OAE≡△OCF，△OAB≡△OCD \) も成り立っています。
つまり，右の図で赤・青・緑の２つの三角形はそれぞれ面積が等しくなっています。
右の図で，平行四辺形 \( ABCD=2( \)赤＋青＋緑\( ) \)，
四角形 \( ABFE= \) 赤＋青＋緑，四角形 \( EFCD= \) 赤＋青＋緑 なので，
四角形 \( ABFE= \) 四角形 \( EFCD \) になります。
大問９
(1) Ｔさんが自宅から公園まで，毎時 \( 4 \; km \) の速さで歩くと，到着するまでにかかった時間は \( 30 \) 分であった。Ｔさんが自宅から公園まで同じ道を，自転車に乗って毎時 \( a \; km \) の速さで移動するとき，到着するまでにかかる時間は何分か。\( a \) を使った式で表しなさい。ただし，Ｔさんが歩く速さと，自転車に乗って移動する速さはそれぞれ一定であるとする。
(2) この公園の地面は平らで，図１のような四角形 \( ABCD \) の形をしている。四角形 \( ABCD \) は、\( AD=CD，AB=10 \; m \)，\( BC=20 \; m，∠ABC=90° \) であり，面積は \( \dfrac{800}{3} \; m^2 \) である。
この公園に街灯が設置されていなかったので，Ｔさんは街灯を設置したいと思い，次のように仮定して考えることにした。
仮定
・ 図２のように，街灯は四角形 \( ABCD \) の対角線 \( AC \) の中点 \( M \)
に１本だけ設置し，公園の地面全体を照らすようにする。
・ 街灯は地面に対して垂直に立て，街灯の先端に光源があるものとす
る。
・ 街灯の高さは光源から地面までの距離とし，自由に変えられるもの
とする。
・ 街灯が照らすことのできる地面の範囲は，街灯の根元を \( O \) とした
とき，\( O \) を中心とする円の周上及び内部とし，その円の半径は街灯
の高さに比例することとする。
・ 図３のように，街灯の高さが \( 2 \; m \) のとき，\( O \) を中心とする半径
\( 10 \; m \) の円の周上及び内部を照らすことができるものとする。
※ は街灯が照らすことのできる地面の範囲を表している。
この仮定に基づいて，街灯を設置するとき，その高さは最低何 \( m \) 必要か。求めなさい。
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
\( AC^2=10^2+20^2=500 \)
\( AC=10\sqrt{5} \; (m) \) （\( AC>0 \)より）
\( △ABC \) の面積は，
\( △ABC=20 \times 10 \times \dfrac{1}{2}=100 \; (m^2) \)
\( △ACD \) の面積は，
\( \dfrac{800}{3}-100=\dfrac{500}{3} \; (m^2) \)
点 \( M \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を点 \( N \) とすると，点 \( M \) は対角線 \( AC \) の中点なので，
\( △ABC \) ∽ \( △MNC \)，相似比 \( 2：1 \) になっています。
つまり，点 \( N \) は線分 \( BC \) の中点になります。
このとき，\( BN=CN，MN \)共通，\( MN⊥BC \) より，
\( △BMN≡△CMN \) なので，\( BM=CM \)
よって，\( AM=BM=CM=5\sqrt{5} \; (m) \)
\( △ACD \) において，\( AD=CD，AM=CM \) より，\( DM⊥AC \)
\( △ACD=AC \times DM \times \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{500}{3}=10\sqrt{5} \times DM \times \dfrac{1}{2} \)
\( DM=\dfrac{20\sqrt{5}}{3} \; (m) \)
よって，点 \( M \) からもっとも遠いのは点 \( D \) になります。
ここから，\( \dfrac{20\sqrt{5}}{3} \; m \) までを照らすことができる街灯の高さを求めます。
図３より，街灯の高さと照らせる範囲の半径の比は \( 1：5 \) なので，
街灯の先端を点 \( L \) とすると，
\( LM：DM=1：5 \)
\( LM：\dfrac{20\sqrt{5}}{3}=1：5 \)
\( 5LM=\dfrac{20\sqrt{5}}{3} \)
\( LM=\dfrac{4\sqrt{5}}{3} \; (m) \)
