大問１
（１） \( (-2) \times 4 \) を計算しなさい。
（２） \( (-3)^2+8 \) を計算しなさい。
（３） \( 7x-(6x-1) \) を計算しなさい。
（４） \( \dfrac{9a^3}{5b} \div \dfrac{3a^2}{2b^2} \) を求めなさい。
（５） \( \sqrt{12}-\sqrt{27} \) を計算しなさい。
大問２
（１） \( y \) が \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=6 \) である。\( x=4 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。
（２） 右の図で，\( ℓ//m \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
右の図のように \( ℓ//m//n \) となるような
直線 \( n \) をひくと，
\( ∠a+∠x=76° \) と表すことができます。
\( ∠a=180°-150°=30° \) なので，
\( ∠a+∠x=76° \)
\( 30°+∠x=76° \)
\( ∠x=46° \)
（３） 二次方程式 \( 2x^2+3x-1=0 \) を解きなさい。
（４） ある池で \( 50 \) 匹の魚をつかまえ，その全部に印をつけて池に戻した。数日後，同じ池で \( 40 \) 匹の魚をつかまえたところ，印のついた魚が \( 11 \) 匹いた。この数日の間に，この池にいる魚の数と，印のついた魚の数に変化がないとするとき，この池にいる魚はおよそ何匹と推定されるか。
一の位を四捨五入した概数で答えなさい。
大問３
（１） 図１の長方形すると，\( ABCD \) において，図形ア～クは合同な直角三角形である。アを，点 \( O \) を中心として平面上で回転移動させたとき，アと重ねあわせることができる図形が図１中に１つある。その図形をイ～クから選び，記号で答えなさい。
直角三角形 ア の３つの角のうち，\( ∠O \) は小さい方の鋭角に
なっています。
イ～クのうち，\( ∠O \) が小さい方の鋭角になっているのは，
エ，オ，ク の３つです。
点 \( O \) から辺 \( BC \) に垂線をひいた交点を点 \( P \) とするとき，
線分 \( PO \)（長辺）と線分 \( OC \)（斜辺）は
カタカナの「フ」の形になっています。
直角三角形 エ，オ，ク のうち，
長辺と斜辺の位置関係がカタカナの「フ」の形になっているのは
オ になります。
（２） 図２のように, 半直線 \( AB，AC \) がある。半直線 \( AB，AC \) のどちらにも接する円のうち，半直線 \( AB \) と点 \( B \) で接する円の中心 \( O \) を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。
手順１ 点 \( B \) を中心に円弧を描く。
（半直線 \( AB \) との交点を点 \( D，E \) とします）
手順２ 点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F \) とします）
手順３ 点 \( B，F \) を通る直線を描く。
手順４ 点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（半直線 \( AC，AB \) との交点を点 \( G，H \) とします）
手順５ 点 \( G，H \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( I \) とします）
手順６ 点 \( A，I \) を通る直線を描く。
手順３と６の直線の交点が求める点 \( O \) になります。
円と接線については，以下の性質があるので，
これを利用して点 \( O \) の位置を求めます。
・ 円の半径と接線は接点において垂直に交わる
・ 円 \( O \) の外部の点 \( A \) から２本の接線をひいたとき，直線 \( OA \) は \( ∠A \) の二等分線になる。（注）
接線 \( AC \) と円 \( O \) の接点を点 \( J \) とすると，
\( △OAB \) と \( △OAJ \) において，
線分 \( OA \) は共通 ･･･ ➀
円 \( O \) の半径なので，\( OB=OJ \) ･･･ ➁
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OBA=∠OJA=90° \) ･･･ ③
➀➁③より，
直角三角形において，斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので，
\( △OAB≡△OAJ \)
対応する角は等しいので，
\( ∠OAB=∠OAJ \)
大問４
（１） 図１は，関数 \( y=3x^2 \) のグラフである。下のア～エは，図１と同じ座標軸を使って，\( y=ax^2 \) の形で表される関数のグラフをそれぞれ図１にかき加えた図であり，そのうちの１つが関数 \( y=-\dfrac{1}{3}x^2 \) のグラフをかき加えたものである。
関数 \( y=-\dfrac{1}{3}x^2 \) のグラフをかき加えた図として最も適切なものを，ア～エから選び，記号で答えなさい。
\( a=-\dfrac{1}{3}<0 \) より，かき加えたグラフは上に凸になります。
ここから，正しい図はアまたはウになります。
二次関数のグラフは，係数の絶対値が小さいほどグラフの開き具合が大きく（平らな形に）なります。
\( 3 \) と \( -\dfrac{1}{3} \) では，\( -\dfrac{1}{3} \) の方が絶対値が小さいので，
書き加えたグラフの方が，より平らな形になります。
ここから，正しい図はアになります。
（２） 図２のような斜面で，点 \( O \) の位置からボールを転がす。
ボールが転がり始めてから \( x \) 秒間に転がる距離を \( y \; m \) とする
とき，\( x \) と \( y \) の間には，\( y=3x^2 \) の関係がある。
このとき，次の文章が正しくなるように ア ， イ にあてはまる数を求めなさい。
大問５
Rさんは，図１の展開図を組み立ててできる特殊なさいころを２個つくり，できたさいころを図２のように，それぞれさいころＡ，さいころＢとした。
次の（１），（２）に答えなさい。ただし，さいころＡ，さいころＢはどの面が出ることも同様に確からしいものとする。
（１） さいころＡを１回投げるとき，１の目が出る確率を求めなさい。
（２） さいころＡとさいころＢを同時に１回投げるとき，出る目の数の和について，Ｒさんは次のように予想した。
出る目の数の和は，２になる確率が最も高い。
３つの１の面を「１Ａ」，「１Ｂ」，「１Ｃ」，
２つの２の面を「２Ａ」，「２Ｂ」として
２つのさいころの出た目の組み合わせとその和を
表にすると，右の表のようになる。
２つのさいころの出た目の組み合わせは３６通り，
出た目の和が２になるのは９通りなので，
確率は \( \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4} \)
出た目の和が３になるのは１２通りなので，
確率は \( \dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3} \)
よって，出た目の和が３になる確率の方が高いので，
Ｒさんの予想は正しくない。
大問６
Ｓさんは授業でフェアトレードについて学習した。フェアトレードとは，発展途上国で生産された農作物や製品を適正な価格で購入することで，その国の人々の生活改善と自立をめざす貿易の仕組みである。
次の（１），（２）に答えなさい。
（１） コーヒー１杯の販売価格 \( 400 \) 円に対して，コーヒー豆の生産者の収入を \( a \) 円とする。このとき，このコーヒー１杯の販売価格に対する生産者の収入の割合は何％になるか。\( a \) を使った式で表しなさい。
（２） Ｓさんたちは，地域の祭りでフェアトレードについての紹介をし，フェアトレード製品である図１のようなコーヒーのドリップバッグと，図２のような紅茶のティーバッグを売ることにした。
Ｓさんたちは，ドリップバッグとティーバッグを仕入れて，ドリップバッグ \( 3 \) 個を袋に入れた商品と，ティーバッグ \( 4 \) 個を袋に入れた商品の２種類の商品をつくる予定である。
それぞれの仕入れ価格は，ドリップバッグが１個 \( 70 \) 円，ティーバッグが１個 \( 40 \) 円であり，仕入れの予算は \( 19000 \) 円である。ただし，袋代は考えないものとする。
仕入れの予算を全額使うものとし，仕入れたドリップバッグとティーバッグをそれぞれ余りなく袋に入れて，２種類の商品を合計 \( 100 \) 袋つくる。
このとき，ドリップバッグとティーバッグをそれぞれ何個仕入れればよいか。 ドリップバッグを \( x \) 個，ティーバッグを \( y \) 個仕入れるものとして，連立方程式をつくり, ドリップバッグとティーバッグの個数をそれぞれ求めなさい。
大問７
図１のような \( AB=AC \) である二等辺三角形の紙 \( ABC \) がある。この紙 \( ABC \) において，図２のように辺 \( BC \) 上に，\( ∠ADC<90° \) となる点 \( D \) をとる。図３のように線分 \( AD \) で折り返し，頂点 \( B \) が移った点を \( E \)，線分 \( AE \) と線分 \( CD \) の交点を \( F \) とする。図４は，図２と図３の点 \( A，B，C，D，E，F \) を結んでできた図形である。
次の（１），（２）に答えなさい。
（１） 図４において，\( △ADF \) ∽ \( △CEF \) であることを証明しなさい。
\( △ADF \) と \( △CEF \) において，
対頂角は等しいので，
\( ∠AFD=∠CFE \) ･･･ ➀
\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
\( ∠ABD=∠ACD \) ･･･ ➁
折り返した図形は合同なので，
\( ∠ABD=∠AED \) ･･･ ③
➁③より，
\( ∠ACD=∠AED \) ･･･ ➃
\( ∠ACD，∠AED \) を弧 \( AD \) に対する
円周角と考えると，
➃より，４点 \( A，D，E，C \)は同一円周上にある。
このとき，弧 \( AC \) に対する円周角なので，
\( ∠ADF=∠CEF \) ･･･ ➄
➀➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADF \) ∽ \( △CEF \)
（２） 図４において，\( AB=12 \; cm，BD=3 \; cm，AF=10 \; cm \) であるとき，線分 \( CD \) の長さを求めなさい。
\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
\( AC=AB=12 \; cm \)
折り返した図形は合同なので，
\( ED=BD=3 \; cm，AE=AB=12 \; cm \)
\( AF=10 \; cm \) なので，
\( EF=AE-AF=2 \; cm \)
\( △ACF \) と \( △DEF \) は，
\( ∠ACF=∠DEF，∠AFC=∠DFE \) より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACF \) ∽ \( △DEF \)
\( AC=12 \; cm，DE=3 \; cm \) より，
相似比は \( 4：1 \)
ここから，
\( AF：DF=4：1 \)
\( 10：DF=4：1 \)
\( DF=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)
\( CF：EF=4：1 \)
\( CF：2=4：1 \)
\( CF=8 \; (cm) \)
よって，
\( CD=8+\dfrac{5}{2}=\dfrac{21}{2} \; (cm) \)
大問８
Ｔさんは, キャンプに行くことにした。
次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） Ｔさんは,キャンプ場で使用するテントを購入する予定であり，商品とその評価をインターネットで調べた。表は，テントＡとテントＢのそれぞれの評価を度数分布表にまとめたものであり，評価は，数値が大きいほど高い。
テントＡとテントＢについて，評価が３以上の相対度数は，どちらが大きいか。評価が３以上の相対度数をそれぞれ明らかにして説明しなさい。ただし，相対度数は，小数第３位を四捨五入し，小数第２位まで求めなさい。
（２） Ｔさんが行こうとしているキャンプ場の標高は \( 350 \; m \) で山の中腹にある。山頂の標高は \( 800 \; m \) であり，Ｔさんはキャンプ場の気温をもとに，山頂の気温を求めることにした。
気温は，標高が高くなるにつれ一定の割合で下がり，その割合は，標高 \( 100 \; m \) あたり \( 0.6 \; ^\circ \)\( C \) とする。キャンプ場の気温が \( 20.8 \; ^\circ \)\( C \) であるときの山頂の気温を求めなさい。
（３） Ｔさんは，キャンプ場で使用する図１のようなたき火台を購入する予定である。Ｔさんはその中に入れる薪を，図２のように井の字型に積もうと考えている。
たき火台の底は図３のような正八角形 \( ABCDEFGH \) の形をしていて，Ｔさんは,その正八角形の対角線 \( AD \) の長さを， たき火台に入れる薪の長さの目安にしようとしている。
正八角形 \( ABCDEFGH \) の一辺の長さを \( a \; cm \) とするとき，対角線 \( AD \) の長さを，\( a \) を使った式で表しなさい。
対角線 \( AD \) と対角線 \( BG \) の交点を点 \( P \)，
対角線 \( AD \) と対角線 \( CF \) の交点を点 \( Q \)
とすると，
\( △ABP \) は斜辺 \( AB=a \; cm \) の直角二等辺三角形
なので，
\( AP=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}a}{2} \; (cm) \)
\( △DCQ≡△ABP \) なので，
\( DQ=AP=\dfrac{\sqrt{2}a}{2} \; cm \)
また，\( BC//AD，BG//CF \) なので，
\( PQ=BC=a \; cm \)
以上より，
\( CD=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}+a+\dfrac{\sqrt{2}a}{2} \)
\( =(1+\sqrt{2})a \; (cm) \)
