山梨県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

弧 \( AD \) の円周角なので，\( ∠CED=∠CBD=x \)
また，弧 \( AC= \) 弧 \( AD \) より，\( ∠CBA=∠ABD \)
\( ∠CBD=∠CBA+∠ABD=x \) なので，\( ∠CBA=\dfrac{x}{2} \)

\( △ABC \) において，直径 \( AB \) の円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
仮定より，\( ∠CAB=57° \)
よって，\( ∠CBA=180°-(∠CAB+∠ACB)=33° \)
\( ∠CBA=\dfrac{x}{2} \) より，
　\( \dfrac{x}{2}=33° \)
　 \( x=66° \)

直線 \( l \) を垂直な方向に円 \( O \) に近づけ，最初に円と接するとき，
直線 \( l \) は円 \( O \) の接線になります。
円の中心を通る直線と接線は接点で垂直に交わるので，
点 \( O \) から，直線 \( l \) に垂線をひいたときの円との交点が
求める点になります。

手順１　点 \( O \) を中心として，直線 \( l \) と交わるように弧を描く。
　　　　（交点を点 \( A，B \) とします。）
手順２　点 \( A，B \) を中心として，等しい半径で弧を描く。
　　　　（交点を点 \( C \) とします。）
手順３　点 \( O，C \) を通る直線を描く。

手順３の直線と円 \( O \) の交点が求める点になります。

点 \( A \) の \( y \) 座標は，\( y=a \times (-6)^2=36a \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( y=a \times 4^2=16a \)
直線 \( AB \) は，\( A(-6，36a)，B(4，16a) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{16a-36a}{4-(-6)}=-2a \)
直線 \( AB \) の式を \( y=-2ax+b \) とし，
\( x=4，y=16a \) を代入すると，
　\( 16a=-2a \times 4+b \)
　\( b=24a \)

\( AB=3 \; cm，BC=4 \; cm \) より，\( △ABC \) は，３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( AC=5 \; cm \)
(2) より，\( AB=AE \) なので，\( AE=3 \; cm，EC=2 \; cm \)

点 \( E \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を点 \( F \) とすると，
\( △ABC \) ∽ \( △EFC \) なので，
　\( AB：AC=EF：EC \)
　　　 \( 3：5=EF：2 \)
　　　　\( EF=\dfrac{6}{5} \; (cm) \)
　\( BC：AC=FC：EC \)
　　　 \( 4：5=FC：2 \)
　　　　\( FC=\dfrac{8}{5} \; (cm) \)

\( BC=4 \; cm \) より，
　\( BF=BC-FC=4-\dfrac{8}{5}=\dfrac{12}{5} \; (cm) \)

\( △BEF \) において，三平方の定理より，
　\( BE^2=BF^2+EF^2 \)
　　　　\( =\left( \dfrac{12}{5} \right)^2+\left( \dfrac{6}{5} \right)^2 \)
　　　　\( =\dfrac{144}{25}+\dfrac{36}{25} \)
　　　　\( =\dfrac{180}{25} \)
　 \( BE=\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \; (cm) \) (\( BE>0 \)より)

\( BP：PM=3：1，MQ：QD=1：3 \) より，\( BP：PQ：QD=3：2：3 \)
\( △ABP，△APQ，△ADQ \) について，線分 \( BP，PQ，QD \) を底辺とすると，高さが等しいので，線分 \( BP，PQ，QD \) の長さの比が \( △ABP，△APQ，△ADQ \) の面積比と等しくなります。

よって，\( △ABP：△APQ：△ADQ=3：2：3 \)
ここから，\( △APQ：△ABD=2：8=1：4 \) となるので，
四角形 \( APCQ \)：四角形 \( ABCD=1：4 \)
つまり，四角形 \( APCQ=\dfrac{1}{4} \) 四角形 \( ABCD \) ･･･ ➀

【四角形 \( LIJK \) と四角形 \( EFGH \) の面積比】
線分 \( IK \) と線分 \( JL \) の交点を \( O \) とすると，
\( △OJK≡△FIJ，△OLK≡△EIL \) なので，これらを入れ替えると，
四角形 \( LIJK= \) 四角形 \( EFJL \) になります。

四角形 \( EFJL \) の面積は四角形 \( EFGH \) の半分にあたるので，
四角形 \( LIJK \)：四角形 \( EFGH=1：2 \)
つまり，四角形 \( LIJK=\dfrac{1}{2} \) 四角形 \( EFGH \) ･･･ ➁

面 \( ACJI \) で切断すると，四角形 \( ACJI \) は
\( AC=8\sqrt{2} \; cm，IJ=4\sqrt{2} \; cm，AI=CJ=4\sqrt{5} \; cm \)
の等脚台形になっています。

点 \( I \) から線分 \( AC \) に垂線をひき，交点を \( N \) とすると，
　\( AN=\dfrac{8\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \; cm \)

\( △AIN \) において，三平方の定理より，
　\( IN^2=(4\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2=72 \)
　 \( IN=6\sqrt{2} \; (cm) \)

【四角すい \( P-ACJI \) の体積 】
まず，面 \( ACJI \) を底面としたときの高さを求めます。
三角すい \( P-AMI \) において，面 \( AMP \) を底面とすると，
体積は，
　三角すい \( P-AMI=\left( 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 8 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{32}{3} \; (cm^3) \)
\( △AMI \) を底面としたときの高さを \( h \) とすると，
　\( 24 \times h \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{32}{3} \)
　　　　　　\( h=\dfrac{4}{3} \; (cm) \)
面 \( AMI，ACJI \) は同一平面なので，面 \( ACJI \) を底面としたときの高さも \( \dfrac{4}{3} \; cm \)

三角すい \( A-NLI \) の体積は，
　三角すい \( A-NLI=\left( 4\sqrt{2} \times 8 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{64}{3} \; (cm^3) \)

三角すい \( C-OKJ \) の体積は，
三角すい \( A-NLI \) の体積と同じなので，\( \dfrac{64}{3} \; (cm^3) \)

三角柱 \( NLI-OKJ \) の体積は，
　三角柱 \( NLI-OKJ=\left( 4\sqrt{2} \times 8 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 4\sqrt{2} \)
　　　　　　　　　　　 \( =128 \; (cm^3) \)

よって，立体 \( AC-JKLI \) の体積は，
　立体 \( AC-JKLI=\dfrac{64}{3}+\dfrac{64}{3}+128 \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{512}{3} \; (cm^3) \) ･･･ ➂