大問１
(1) \( 9+4 \times (-3) \) を計算せよ。
(2) \( 2(5a+4b)-(a-6b) \) を計算せよ。
(3) \( \dfrac{18}{\sqrt{3}}-\sqrt{27} \) を計算せよ。
(4) ２次方程式 \( (x-5)(x+4)=3x-8 \) を解け。
(5) \( 1 \) から \( 6 \) までの目が出る２つのさいころ \( A，B \) を同時に投げるとき，出る目の数の積が偶数になる確率を求めよ。
ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。
奇数になる組み合わせは９通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
積が奇数になる確率は，\( \dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4} \)
よって，積が奇数になる確率は，\( 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)
【別解】
奇数 \( \times \) 奇数 \( = \) 奇数
奇数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
偶数 \( \times \) 奇数 \( = \) 偶数
偶数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
なので，積が奇数になるのは，
出た目が両方とも奇数のとき
とわかります。
\( (a，b)=(1，1)，(1，3)，(1，5) \)
\( (3，1)，(3，3)，(3，5) \)
\( (5，1)，(5，3)，(5，5) \)
(6) 関数 \( y=-2x+7 \) について，\( x \) の値が \( -1 \) から \( 4 \) まで増加するときの \( y \) の増加量を求めよ。
(7) 関数 \( y=-\dfrac{4}{x} \) のグラフをかけ。
(8) Ｍ中学校の全校生徒４５０人の中から無作為に抽出した４０人に対してアンケートを行ったところ，家で，勉強のためにＩＣＴ機器を使用すると回答した生徒は３２人であった。Ｍ中学校の全校生徒のうち，家で，勉強のためにＩＣＴ機器を使用する生徒の人数は，およそ何人と推定できるか答えよ。
(9) 図のように，線分 \( AB \) を直径とする半円 \( O \) の弧 \( AB \) 上に点 \( C \) をとり，\( △ABC \) をつくる。線分 \( AC \) に平行で点 \( O \) を通る直線と線分 \( BC \)，弧 \( BC \) との交点をそれぞれ \( D，E \) とし，点 \( C \) と点 \( E \) を結ぶ。 \( ∠CAB=56° \) のとき，\( ∠DEC \) の大きさを求めよ。
\( △OAC \) は，\( OA=OC \) の二等辺三角形なので，
\( ∠OCA=∠OAC=56° \)
\( AC//OE \) より，錯角は等しいので，
\( ∠COE=∠OCA=56° \)
\( △COE \) は，\( OC=OE \) の二等辺三角形なので，
\( ∠DEC=\dfrac{180°-∠COE}{2}=62° \)
大問２
あめを買いに行く。
次の (1)，(2) に答えよ。
(1) あめは，定価の \( 20 \) ％引きの \( a \) 円で売られている。
このとき，あめの定価を \( a \) を用いた式で表せ。
(2) あめを買い，その全てを何人かの生徒で分ける。
あめを生徒１人に５個ずつ分けると８個余り，生徒１人に７個ずつ分けると１０個たりない。
このとき，あめを生徒１人に６個ずつ分けるとすると，あめはたりるか説明せよ。
説明する際は，あめの個数と生徒の人数のどちらかを \( x \) として (どちらを \( x \) としてもかまわない。) つくった方程式を示し，あめの個数と生徒の人数を求め，その数値を使うこと。
大問３
農園に３つの品種 Ａ，Ｂ，Ｃ のいちごがある。孝さんと鈴さんは，３つの品種のいちごの重さを比べるために，Ａ～Ｃ のいちごをそれぞれ３０個ずつ集め，１個ごとの重さのデータを図１のように箱ひげ図に表した。
下の会話文は，孝さんと鈴さんが，図１をもとに，「重いいちごの個数が多いのは，Ａ～Ｃのどの品種といえるか」について，会話した内容の一部である。
孝さん：ＡとＣは，箱ひげ図が同じ形だから，①範囲や四分位範囲などが異なる ＡとＢを比べたいけど，
どうやって比べたらいいかな。
鈴さん：基準となる重さを決めて，比べたらどうかな。例えば，基準を \( 25 \; g \) にすると，\( 25 \; g \) 以上の個数は，
Ｂの方がＡより多いといえるよ。図１から，個数の差が１個以上あるとわかるからね。
孝さん：基準を \( 34 \; g \) にしても，\( 34 \; g \) 以上の個数は，ひげの長さの違いだけではわからないから，
ＡとＢのどちらが多いとはいえないなあ。
鈴さん：基準を \( 30 \; g \) にすると，\( 30 \; g \) 以上の個数は，Ａの方がＢより多いといえるよ。
孝さん：➁図１から，\( 30 \; g \) 以上の個数は，Ａが１５個以上，Ｂが７個以下とわかるからだね。
鈴さん：箱ひげ図を見て基準を決めると，重いいちごの個数が多いのは，ＡとＢのどちらであるか
比べられるね。では，箱ひげ図が同じ形の ➂ＡとＣのデータの分布の違いをヒストグラムで
見てみようよ。
次の (1)～(3) に答えよ。
(1) 下線部➀について，Ａのデータの範囲とＡのデータの四分位範囲を求めよ。
四分位範囲は 第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 で求めることができます。 \( 33-27=6 \; (g) \)
(2) 下線部➁は，次の２つの値と基準の \( 30 \; g \) を比較した結果からわかる。
Ａのデータの【Ｘ】 Ｂのデータの【Ｙ】
【Ｘ】，【Ｙ】は，それぞれ次の ア～カ のいずれかである。【Ｘ】，【Ｙ】をそれぞれ１つずつ選び，
記号をかけ。また，Ａのデータの【Ｘ】とＢのデータの【Ｙ】を数値で答えよ。
ア 最小値 イ 第１四分位数 ウ 中央値
エ 平均値 オ 第３四分位数 カ 最大値
(3) 下線部➂について，図２は，Ａのデータをヒストグラムに表したものであり，例えば，Ａの重さが \( 22 \; g \) 以上 \( 24 \; g \) 未満の個数は１個であることを表している。
図２において，重さが \( 30 \; g \) 未満の累積度数を求めよ。また，Ｃのデータをヒストグラムに表したものが，次のア～エに１つある。それを選び，記号をかけ。
\( 30 \; g \) 未満のすべての階級の度数の合計が求める累積度数になります。
すべての階級について，度数を図２に書き加えました。
度数の合計は，\( 1+2+5+6=14 \)（個）
【Ｃを表すヒストグラムはどれか？】
Ｃの箱ひげ図から，最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値のそれぞれの値と，
ヒストグラムにしたときにあてはまる階級は下の表のとおりです。
これらがすべてあてはまるヒストグラムは，エになります。
大問４
東西に一直線にのびた道路上にＰ地点がある。
バスは，Ｐ地点に停車しており，この道路を東に向かって進む。次の式は，バスがＰ地点を出発してから \( 30 \) 秒後までの時間と進む道のりの関係を表したものである。
式 バスについての時間（秒）と道のり \( (m) \)
\( ( \)道のり\( ) \) \( =\dfrac{1}{4} \times \) \( ( \)時間\( )^2 \)
自転車は，Ｐ地点より西にある地点から，この道路を東に向かって，一定の速さで進んでいる。自転車は，バスがＰ地点を出発すると同時にＰ地点を通過し，その後も一定の速さで進む。次の表は，自転車がＰ地点を通過してから \( 8 \) 秒後までの時間と進む道のりの関係を表したものである。
下の図は，バスがＰ地点を出発してから \( 30 \) 秒後までの時間を横軸（ \( x \) 軸），Ｐ地点から進む道のりを縦軸（ \( y \) 軸）として，バスについての時間と道のりの関係をグラフに表したものに，自転車の進むようすをかき入れたものであり，バスは，Ｐ地点を出発してから \( 25 \) 秒後に自転車に追いつくことを示している。
次の (1)～(3) に答えよ。
(1) バスについてのグラフ上にある２点 \( (0, 0) \) と \( (6, 9) \) を直線で結ぶ。この直線の傾きは，バスについての何を表しているか。正しいものを次のア～エから１つ選び，記号をかけ。
ア Ｐ地点を出発してから \( 6 \) 秒間で進む道のり
イ Ｐ地点を出発してから \( 9 \) 秒間で進む道のり
ウ Ｐ地点を出発してから \( 6 \) 秒後までの平均の速さ
エ Ｐ地点を出発してから \( 9 \) 秒後までの平均の速さ
\( (0, 0) \) と \( (6, 9) \) を直線で結ぶということは，
\( 1 \) 秒あたり同じ距離ずつ進むということを
\( 6 \) 秒間続けていることを表しています。
つまり，これは，\( 6 \) 秒後までの平均の速さを
表していることになります。
(2) この道路上に，Ｐ地点から東に \( 100 \; m \) 離れたＱ地点がある。バスがＱ地点を通過するのは，自転車がＱ地点を通過してから何秒後か求めよ。
(3) タクシーは，この道路を東に向かって，秒速 \( 10 \; m \) で進むものとする。タクシーは，バスがＰ地点を出発した \( 10 \) 秒後にＰ地点を通過する。
このとき，タクシーは，バスより先に自転車に追いつくことができるか次のように説明した。
説明
タクシーとバスのそれぞれが自転車に追いつくのは，バスがＰ地点を出発してから，タクシーが Ｔ 秒後で，バスが \( 25 \) 秒後である。
Ｔ は \( 25 \) より ➀（ア 大きい イ 小さい） ので，タクシーは，バスより先に自転車に追いつくことが ➁（ウ できる エ できない）。
説明のＴにあてはまる数を求め，下線部➀，➁の （ ） にあてはまるものを，それぞれ１つ選び，記号をかけ。
グラフの中に，タクシーが進む状態を表す直線を書き足します。
タクシーは秒速 \( 10 \; m \) で進むことから，
この直線の式を \( y=10x+b \) とすると，
\( (10, 0) \) を通るので，
\( 0=10 \times 10+b \)
\( b=-100 \)
となり，タクシーの式は，
\( y=10x-100 \) となります。
自転車の式は，\( y=\dfrac{25}{4}x \) なので，
連立方程式として解くと，
タクシーが自転車に追いつく時間は，
連立方程式の解として求めることができます。
\( \left\{ \begin{array}{}
y=10x-100 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
y=\dfrac{25}{4}x \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
\( 10x-100=\dfrac{25}{4}x \)
\( 15x=400 \)
\( x=\dfrac{80}{3} \)
よって，タクシーが自転車に追いつく時間は，\( \dfrac{80}{3} \) 秒後
バスが自転車に追いつく時間は，\( 25 \) 秒後なので，バスより先に追いつくことはできない。
大問５
正方形 \( ABCD \) で，辺 \( BC，CD \) 上に，点 \( E，F \) を，\( BE=CF \) となるようにそれぞれとる。
このとき，\( AE=BF \) であることを，図１をかいて，\( △ABE≡△BCF \) を示すことで証明した。
証明
\( △ABE \) と \( △BCF \) において
仮定から，\( BE=CF \) ･･･ ➀
四角形 \( ABCD \) は正方形だから
\( AB=BC \) ･･･ ➁
\( ∠ABE=∠BCF=90° \) ･･･ ➂
➀，➁，➂より， がそれぞれ等しいので
\( △ABE≡△BCF \)
合同な図形では，対応する線分の長さはそれぞれ等しいから
\( AE=BF \)
次の (1)～(4) に答えよ。
(1) にあてはまる言葉をかき，上の証明を完成させよ。
(2) 上の証明をしたあと，辺 \( BC，CD \) 上に，点 \( E，F \) を，図１の位置とは異なる位置に，\( BE=CF \) となるようにそれぞれとり，図２をかいた。
図２においても，図１と同じように \( AE=BF \) である。
このことの証明について，正しいことを述べているものを，次のア～エから１つ選び，記号をかけ。
ア 上の証明をしても，あらためて証明しなおす必要がある。
イ 上の証明で，すでに示されているので，証明しなおす必要はない。
ウ 上の証明の一部をかきなおして，証明しなければならない。
エ 上の証明をしても，線分AEと線分BFの長さを測って確認しなければならない。
(3) 図３は，図２において，線分 \( AE \) と線分 \( BF \) との交点を \( G \) としたものである。
図３において，\( △ABE \) ∽ \( △AGB \) であることを証明せよ。
ただし， \( △ABE≡△BCF \) であることは使ってよい。
\( △ABE \) と \( △AGB \) において，
\( △ABE≡△BCF \) より，
\( ∠AEB=∠BFC \) ･･･ ➀
\( AB//CD \) なので，錯角は等しく，
\( ∠ABG=∠BFC \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠AEB=∠ABG \) ･･･ ➂
また，\( ∠A \) は共通 ･･･ ④
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE \) ∽ \( △AGB \)
(4) 図３において，\( BE：EC=3：1 \) のとき，四角形 \( GECF \) の面積は，正方形 \( ABCD \) の面積の何倍か求めよ。
四角形 \( GECF=△BCF-△BEG \) となっていること，\( △ABE≡△BCF \)，\( △ABE \) ∽ \( △AGB \)，であることを使って求めていきます。
\( BE：EC=3：1 \) より，\( BE：BC=3：4 \)
\( AB=BC \) より，\( BE：AB=3：4 \)
\( △ABE \) は \( BE：AB=3：4 \) の直角三角形なので，\( AB：AE=4：5 \)
(3) より，\( △ABE \) ∽ \( △AGB \) なので，相似比は \( 5：4 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しいので，
\( △ABE：△AGB=5^2：4^2=25：16 \)
\( △ABE=△AGB+△BGE \) なので，
\( △ABE：△BGE=25：(25-16)=25：9 \)
\( △ABE≡△BCF \) より，
\( △BCF：△BGE=25：9 \)
四角形 \( GECF=△BCF-△BEG \) なので，
\( △BCF：\) 四角形 \( GECF=25：(25-9)=25：16 \)
点 \( E \) から辺 \( AD \) に垂線をひき，交点を \( H \) とすると，
四角形 \( ABEH \) は長方形で，線分 \( AE \) は対角線なので，
\( △ABE：\) 四角形 \( ABEH=1：2=25：50 \)
\( BE：EC=3：1 \) より，四角形 \( ABEH： \) 四角形 \( DHEC=3：1 \) なので，
四角形 \( ABEH： \) 四角形 \( DHEC=3：1 \)
\( 25+25： \) 四角形 \( DHEC=3：1 \)
\( 3 \times \) 四角形 \( DHEC=50 \)
四角形 \( DHEC=\dfrac{50}{3} \)
正方形 \( ABCD= \) 四角形 \( ABEH+ \) 四角形 \( DHEC \)
\( =50+\dfrac{50}{3} \)
\( =\dfrac{200}{3} \)
よって，
四角形 \( GECF： \) 正方形 \( ABCD=16： \dfrac{200}{3}\)
\( =48： 200 \)
\( =6： 25 \)
なので，四角形 \( GECF \) の面積は，正方形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{6}{25} \) 倍
大問６
図１は, 半径 \( 4 \; cm \) の円 \( O \) を底面とし，母線の長さが \( 6 \; cm \) の
円すいを表しており，円すいの頂点を \( A \) としたものである。
次の (1)～(3) に答えよ。答えに円周率を使う場合は，\( \pi{} \) で表すこと。
(1) 図１に示す円すいの表面積を求めよ。
この円すいを展開すると，半径 \( 6 \; cm \) のおうぎ形と
半径 \( 4 \; cm \) の円になるので，
\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{8\pi{}}{12\pi{}}+\pi{} \times 4^2=40\pi{} \; (cm^2) \)
(2) 図１に示す円すいと底面が合同で，高さが等しい円柱の容器に，高さを４等分した目盛りがついている。この容器の底面を水平にして，水を入れる。
このとき，図１に示す円すいの体積と同じ量の水を入れた容器を表したものが，次のア～エに１つある。それを選び，記号をかけ。また，選んだ容器の底から水面までの高さを求めよ。
ただし，容器の厚さは考えないものとする。
円すい \( = \) 底面積 \( \times \) 高さ \( \times \dfrac{1}{3} \)
円柱 \( = \) 底面積 \( \times \) 高さ
で求められるので，
円すいと円柱の底面が合同（面積が等しい）で，高さが等しいとき，
円すいの体積は，円柱の体積の \( \dfrac{1}{3} \) になります。
よって，容器の \( \dfrac{1}{3} \) だけ水が入っている イ になります。
また，円すいを正面から見たとき，
母線と底面の円の半径の交点を点 \( P \) とします。
\( △AOP \) は，\( AP=6 \; cm，OP=4 \; cm \) の直角三角形なので，
三平方の定理より，高さは，
\( AO^2=AP^2+OP^2 \)
\( =6^2+4^2 \)
\( =20 \)
\( AO=2\sqrt{5} \; (cm) \) ( \( AO>0 \)より )
容器は高さが等しく，水は \( \dfrac{1}{3} \) の高さまで入っているので，
水面までの高さは，\( \dfrac{2\sqrt{5}}{3} \; cm \)
(3) 図２は，図１に示す円すいにおいて，円 \( O \) の円周上に点 \( B，C \) を，\( ∠BOC=120° \) となるようにとり，\( △ABC \) をつくったものである。
図２に示す円すいにおいて，線分 \( BC \) 上に点 \( D \) を，\( AD=CD \) となるようにとるとき，線分 \( OD \) の長さを求めよ。
点 \( O \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を点 \( E \) とすると，
\( △OBE≡△OCE \) になっています。
\( ∠BOC=120° \) より，\( ∠COE=\dfrac{1}{2}∠BOC=60° \) なので，
\( △OCE \) は，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形であり，
\( OE=\dfrac{1}{2}OC=2 \; (cm) \)
\( CE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OC=2\sqrt{3} \; (cm) \)
となります。
次に，\( △ABC \) に注目すると，線分 \( AB，AC \) は母線になるので。\( AB=AC=6 \; cm \) の二等辺三角形になっています。
ここで，点 \( E \) は線分 \( BC \) の中点なので，\( AE⊥BC \) です。
ここで，\( DE=x \; cm \) とすると，\( AD=CD \) より，
\( AD=2\sqrt{3}+x \; cm \) と表すことができるので，
\( △ADE \) と \( △ACE \) において，三平方の定理より，
\( AD^2-DE^2=AC^2-CE^2 \)
\( (2\sqrt{3}+x)^2-x^2=6^2-(2\sqrt{3})^2 \)
\( 4\sqrt{3}x+12=24 \)
\( x=\sqrt{3} \; (cm) \)
\( AE^2=AC^2-CE^2 \)
\( =6^2-(2\sqrt{3})^2 \)
\( =24 \)
\( AE=2\sqrt{6} \; (cm) \)
\( AE>CE \) より，点 \( D \) は \( BE \) 間にあるとわかります。
\( △OBC \) に戻ると，中にできる \( △ODE \) は，
\( OE=2 \; cm，DE=\sqrt{3} \; cm \) の直角三角形なので，
三平方の定理より，
\( OD^2=OE^2+DE^2 \)
\( =2^2+\sqrt{3}^2 \)
\( =7 \)
\( OD=\sqrt{7} \; (cm) \) ( \( OD>0 \)より )
