問題
１．右の図で，４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
であり，線分ＢＣは円Ｏの直径である。
このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。
２．右の図でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
であり，線分ＡＣは直径である。
このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。
３．右の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点
である。
このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。
解答
１．∠\(ABC=49° \)
２．∠\(CAB=22° \)
３．∠\(BAC=21° \)
解説
１．∠ＡＤＢ＝41°のとき，∠\(x\)の大きさを求めなさい。
解答の方針
まず，∠\(ABC\) が内角となる三角形を探します。
問題で引かれている線分だけでは見つかりませんが，補助線\(AC\)をひくと，△\(ABC\) ができます。
△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(ABC\) 以外の２つの内角を調べます。
\(ACB\) は，\(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。
また， ∠\(BAC\) は半円に対する円周角になっています。
∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢを示す
補助線\(AC\) を引くと、∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角なので，
∠\(ACB=\)∠\(ADB=41°\) ・・・ （1）
円周角の定理同じ弧に対する円周角は等しい
∠ＢＡＣ＝９０°を示す
また、線分\(BC\) は円Ｏの直径なので，
∠\(BAC=90°\) ・・・ （2）
円周角の性質半円の円周角は９０°になる
∠\(x\)を求める
（1）（2）より，三角形の内角の和は180°なので、
\begin{eqnarray}
∠ABC+∠BAC+∠ACB &=& 180° \\
∠ABC+90°+41° &=& 180° \\
∠ABC+131° &=& 180° \\
∠ABC &=& 49°
\end{eqnarray}
三角形の内角の和は１８０°になる
２．∠ＡＤＢ＝68°のとき，∠\(x\)の大きさを求めなさい。
解答の方針
まず，∠\(BAC\) が内角となる三角形は△\(ABC\) になります。
△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(BAC\) 以外の２つの内角を調べます。
∠\(ABC\) は半円に対する円周角になっています。
また，∠\(ACB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。
∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢを示す
∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\) の円周角なので，
∠\(ACB\) ＝∠\(ADB\) ・・・ （1）
円周角の定理同じ弧に対する円周角は等しい
∠ＡＢＣ＝９０°を示す
∠\(ABC\) は半円に対する円周角なので，
∠\(ABC=90°\) ・・・ （2）
円周角の性質半円に対する円周角は９０°になる
∠\(x\)を求める
（1）（2）より，三角形の内角の和は 180° なので，
\begin{eqnarray}
∠CAB+∠ABC+∠ACB &=& 180° \\
∠CAB+90°+68° &=& 180° \\
∠CAB+158° &=& 180° \\
∠CAB &=& 22°
\end{eqnarray}
三角形の内角の和は１８０°になる３．∠ＢＡＣ＝３８°のとき，∠\(x\)の大きさを求めなさい。
解答の方針
まず，∠\(OBC\) が内角となる三角形は△\(OBC\) です。
△\(OBC\) の２辺，\(OB=OC\) は円Ｏの半径になっていることから，△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形であるとわかります。
二等辺三角形の底角は等しいので，∠\(BOC\) がわかれば，∠\(x\) を求めることができます。
手順１
∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角，∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角なので，
∠\(BOC = 2✕ \)∠\(BAC\)
\(=2✕38°\)
\(=76°\)
∠ＯＣＢを求める
\(OB，OC\) は円Ｏの半径なので，
\(OB=OC\)
△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形なので,
∠\(OCB=(180°－\)∠\(\displaystyle BOC) ✕ \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x=(180°－76°) ✕ \frac{1}{2}\)
\(=52°\)
