大問１
（１） \( 6-(-4) \div 2 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
ア \( 1 \) イ \( 4 \) ウ \( 5 \) エ \( 8 \)
（２） \( \dfrac{3x-2}{6}-\dfrac{2x-3}{9} \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選び
なさい。
ア \( \dfrac{5x-12}{18} \) イ \( \dfrac{13x-12}{18} \) ウ \( \dfrac{5}{18}x \) エ \( -\dfrac{2}{3} \)
（３） \( 6x^2 \div (-3xy)^2 \times 27xy^2 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から
一つ選びなさい。
ア \( -54x^2y \) イ \( -18xy \) ウ \( 18x \) エ \( 54x^2y^2 \)
（４） \( (\sqrt{5}-\sqrt{2})( \sqrt{20}+\sqrt{8}) \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ
選びなさい。
ア \( 6 \) イ \( 4\sqrt{5} \) ウ \( 2\sqrt{21} \) エ \( 14 \)
（５） 方程式 \( (x-3)^2=-x+15 \) の解として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
ア \( x=-6，1 \) イ \( x=-3，-2 \) ウ \( x=-1，6 \) エ \( x=2，3 \)
（６） 次のアからエまでの中から，\( y \) が \( x \) の一次関数となるものを一つ選びなさい。
ア 面積が \( 100 \; cm^2 \) で、たての長さが \( x \; cm \) である長方形の横の長さ \( y \; cm \)
イ １辺の長さが \( x \; cm \) である正三角形の周の長さ \( y \; cm \)
ウ 半径が \( x \; cm \) である円の面積 \( y \; cm^2 \)
エ １辺の長さが \( x \; cm \) である立方体の体積 \( y \; cm^3 \)
（７） \( 1 \) が書かれているカードが２枚，\( 2 \) が書かれているカードが１枚，\( 3 \) が書かれているカードが１枚
入っている箱から，１枚ずつ続けて3枚のカードを取り出す。
１枚目を百の位，２枚目を十の位，３枚目を一の位として，３けたの整数をつくるとき，この
整数が \( 213 \) 以上となる確率として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
ア \( \dfrac{7}{24} \) イ \( \dfrac{1}{3} \) ウ \( \dfrac{5}{12} \) エ \( \dfrac{1}{2} \)
それによりできる整数を樹形図に書いてみます。
できた整数が \( 213 \) 以上となる組み合わせは１０通り，すべての組み合わせは２４通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12} \)
（８） \( n \) がどんな整数であっても，式の値が必ず奇数となるものを，次のアからエまでの中から一つ選び
なさい。
ア \( n-2 \) イ \( 4n+5 \) ウ \( 3n \) エ \( n^2-1 \)
偶数 \( + \) 偶数 \( = \) 偶数，偶数 \( + \) 奇数 \( = \) 奇数，奇数 \( + \) 偶数 \( = \) 奇数，奇数 \( + \) 奇数 \( = \) 偶数
偶数，奇数の積について、
偶数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数，偶数 \( \times \) 奇数 \( = \) 偶数，奇数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数，奇数 \( \times \) 奇数 \( = \) 奇数
の関係が成り立ちます
ア \( n \) が偶数のとき，\( n-2 \) は 「偶数 \( + \) 偶数」なので，偶数 （\( -2 \) は偶数）
\( n \) が奇数のとき，\( n-2 \) は 「奇数 \( + \) 偶数」なので，奇数
イ \( n \) が偶数のとき，\( 4n+5 \) は 「偶数 \( \times \) 偶数 \( + \) 奇数」なので，奇数
\( n \) が奇数のとき，\( 4n+5 \) は 「偶数 \( \times \) 奇数 \( + \) 奇数」なので，奇数
ウ \( n \) が偶数のとき，\( 3n \) は 「奇数 \( \times \) 偶数」なので，偶数
\( n \) が奇数のとき，\( 3n \) は 「奇数 \( \times \) 奇数」なので，奇数
エ \( n \) が偶数のとき，\( n^2-1 \) は 「偶数 \( \times \) 偶数 \( + \) 奇数」なので，奇数 （\( -1 \) は奇数）
\( n \) が奇数のとき，\( n^2-1 \) は 「奇数 \( \times \) 奇数 \( + \) 奇数」なので，偶数
アからエの式に \( n=2m \) と \( n=2m+1 \) を代入したときに
\( 2k \) の形に変形できれば偶数，\( 2k+1 \) の形に変形できれば奇数になります。
つまり，\( n=2m \) と \( n=2m+1 \) を代入したときに，
どちらも \( 2k+1 \) の形に変形できるものを選べばよいことになります。
ア \( n=2m \) のとき，\( 2m-2=2(m-1) \) なので，偶数
\( n=2m+1 \) のとき，\( (2m+1)-2=2(m-1)+1 \) なので，奇数
イ \( n=2m \) のとき，\( 4 \times 2m+5=8m+5=2(4m+2)+1 \) なので，奇数
\( n=2m+1 \) のとき，\( 4 \times (2m+1)+5=8m+9=2(4m+4)+1 \) なので，奇数
ウ \( n=2m \) のとき，\( 3 \times 2m=2 \times 3m \) なので，偶数
\( n=2m+1 \) のとき，\( 3 \times (2m+1)=6m+3=2(3m+1)+1 \) なので，奇数
エ \( n=2m \) のとき，\( (2m)^2-1=4m^2-1=2(2m^2-1)+1 \) なので，奇数
\( n=2m+1 \) のとき，\( (2m+1)^2-1=4m^2+4m=2(2m^2+2m) \) なので，偶数
（９） \( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合が，関数 \( y=2x^2 \) と同じ関数を，
次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
ア \( y=2x+1 \) イ \( y=3x-1 \) ウ \( y=5x-4 \) エ \( y=8x+6 \)
（１０） 空間内の平面について正しく述べたものを，次のアからエまでの中から全て選びなさい。
ア 異なる２点をふくむ平面は１つしかない。
イ 交わる２直線をふくむ平面は１つしかない。
ウ 平行な２直線をふくむ平面は１つしかない。
エ 同じ線上にある３点をふくむ平面は１つしかない。
異なる２直線が同一平面にある場合は，その面以外の平面をとることはできません。
ア 異なる２点を通る直線は１本しかないので，平面は無限にとることができます。
反例
エ ３点が同じ線上にある場合も直線は１本しかないので，平面は無限にとることができます。
反例
大問２
（１） 図は，ある中学校のＡ組３２人とＢ組３２人のハンドボール投げの記録を，箱ひげ図で表したものである。
この箱ひげ図から分かることについて，正しく述べたものを次のアからオまでの中から二つ選びなさい。
ア Ａ組とＢ組は、範囲がともに同じ値である。
イ Ａ組とＢ組は、 四分位範囲がともに同じ値である。
ウ Ａ組とＢ組は、中央値がともに同じ値である。
エ \( 35 \; m \) 以上の記録を出した人数はＢ組よりＡ組の方が多い。
オ \( 25 \; m \) 以上の記録を出した人数は，Ａ組，Ｂ組ともに同じである。
問題の箱ひげ図では，明らかにＡ組の範囲の方が小さくなっています。
イ 四分位範囲は「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求められます。
Ａ組 ･･･ \( 30-15=15 \; (m) \)
Ｂ組 ･･･ \( 35-20=15 \; (m) \)
ウ Ａ組とＢ組は、中央値がともに同じ値である。
中央値は，Ａ組とＢ組どちらも \( 25 \; m \) になっています。
エ \( 35 \; m \) 以上の記録を出した人数は，
Ｂ組：第三四分位数が \( 35 \; m \) なので，８人以上います。
Ａ組：第三四分位数が \( 30 \; m \) なので，８人以上になります。
よって，Ａ組の人数は，Ｂ組と同じまたはＢ組より少なくなっています。
オ Ａ組，Ｂ組とも全部で３２人ずつなので，
中央値は記録の小さい方から１６番目の人と１７番目の人の記録の平均値になります。
例えば，Ａ組の１６番目，１７番目の人の記録がともに \( 25 \; m \) だとすると，
中央値は \( 25 \; m \) ですし，
Ｂ組の１６番目の人の記録が \( 24 \; m \)，１７番目の人の記録が \( 26 \; m \) だとしても，
中央値は \( 25 \; m \) になります。
（２） 図で，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形であり，\( E \) は \( BC \) 上の点で，\( AB=AE \) である。
このとき \( △ABC \) と \( △EAD \) が合同であることを，次のようにしたい。
（ Ⅰ ），（ Ⅱ ）にあてはまる最も適当なものを，下のアからコまでの中からそれぞれ選びなさい。
なお，２か所の（ Ⅰ ），（ Ⅱ ）には、それぞれ同じものがあてはまる。
(証明)
\( △ABC \) と \( △EAD \) で，
仮定より， \( AB=EA \) ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから， \( BC=AD \) ･･･ ➁
二等辺三角形の底角は等しいから， \( ∠ABC= \)（ Ⅰ ） ･･･ ➂
平行線の錯角は等しいから， （ Ⅰ ）\( = \)（ Ⅱ ） ･･･ ➃
➂，➃より， \( ∠ABC= \)（ Ⅱ ） ･･･ ➄
➀，➁，➄ から２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
\( △ABC≡△EAD \)
ア \( ∠ACD \) イ \( ∠ACE \) ウ \( ∠ADC \) エ \( ∠ADE \) オ \( ∠AEB \)
カ \( ∠AEC \) キ \( ∠EAC \) ク \( ∠EAD \) ケ \( ∠ECD \) コ \( ∠EDC \)
（３） 図で，四角形 \( ABCD \) は \( AD//BC, ∠ABC=90° \)，
\( AD=4 \; cm, BC=6 \; cm \) の台形である。点 \( P，Q \) はそれぞれ頂点 \( A，C \) を同時に出発し，点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで辺 \( AD \) 上を，点 \( Q \) は毎秒 \( 2 \; cm \) の速さで辺 \( CB \) 上をくり返し往復する。
点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから \( x \) 秒後の \( AP \) の長さを \( y \; cm \) とするとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
ただし，点 \( P \) が頂点 \( A \) と一致するときは \( y=0 \) とする。
なお，下の図を必要に応じて使ってもよい。
➀ \( x=6 \) のときの \( y \) の値として正しいものを，次のアからオまでの中から一つ選びなさい。
ア \( y=0 \) イ \( y=1 \) ウ \( y=2 \) エ \( y=3 \) オ \( y=4 \)
➁ 点 \( P，Q \) が頂点 \( A，C \) を同時に出発してから \( 12 \) 秒後までに，\( AB//PQ \) となるときは何回あるか，次のアからオまでの中から一つ選びなさい。
ア １回 イ ２回 ウ ３回 エ ４回
点 \( Q \) が頂点 \( C \) を出発してから \( x \) 秒後の \( BQ \) の長さを \( y \; cm \) として，
\( AP，BQ \) の長さの関係を表す直線をそれぞれ書き込みます。
\( AB//PQ \) となるのは，\( AP=BQ \) となるとき，
つまり，２本の直線の \( y \) の値が等しくなるときなので，
グラフ中では２本の直線の交点になります。
よって，\( AB//PQ \) となるのは４回になります。
大問３
（１） 図で，\( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点で，\( AO//BC \) である。
\( ∠AOB=48° \) のとき，\( ∠ADC \) の大きさは 度である。
\( ∠ADC \) を線分 \( BD \) で２つに分けると，
\( ∠AOB \) は弧 \( AB \) の中心角，\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) の円周角なので，
\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=24° \)
線分 \( BO \) を延長したときの円 \( O \) との交点を点 \( E \) とすると，線分 \( BE \) は直径になるので，\( ∠BCE=90° \)
また，\( AO//BC \) より，錯角は等しいので，\( ∠CBE=∠AOB=48° \)
ここから，\( ∠BEC=180°-(∠BCE+∠CBE)=42° \)
\( ∠BDC \) と \( ∠BEC \) はともに弧 \( AB \) の円周角なので，
\( ∠BDC=∠BEC=42° \)
よって，\( ∠ADC=∠ADB+∠BDC=66° \)
（２） 図で，四角形 \( ABCD \) は長方形で，\( E \) は辺 \( AB \) の中点である。また，\( F \) は辺 \( AD \) 上の点で，\( FE//DB \) であり，\( G，H \) はそれぞれ線分 \( FC \) と \( DE，DB \) との交点である。
\( AB=6 \; cm，AD=10 \; cm \) のとき、
➀ 線分 \( FE \) の長さは， \( cm \) である。
\( FE//DB \) より，同位角は等しいので，
\( ∠AEF=∠ABD \)
\( ∠A \) は共通
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AEF \) ∽ \( △ABD \)
対応する辺の比は等しいので，
\( EF：BD=AE：AB=1：2 \)
\( EF=\dfrac{1}{2}BD \)
\( BD^2=AB^2+AD^2 \)
\( =6^2+10^2 \)
\( =134 \)
\( BD=2\sqrt{34} \; (cm) \)
よって，
\( EF=\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{34}=\sqrt{34} \; (cm) \)
➁ \( △DGH \) の面積は \( cm^2 \) である。
\( △DGH \) と \( △CDF \) の面積比から求めることにします。
\( △DGH \) と \( △CDF \) は底辺をそれぞれ \( GH，CF \) とすると，高さが共通なので，
\( △DGH：△CDF=GH：CF \) となります。
\( △DFH \) と \( △BCH \) において，
長方形の向かい合う辺は平行なので，\( AD//BC \)
錯角は等しいので，
\( ∠HDF=∠HBC，∠HFD=∠HCB \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DFH \) ∽ \( △BCH \)
問➀より
\( △AEF \) ∽ \( △ABD \)，相似比 \( 1：2 \) なので，
\( F \) は \( AD \) の中点であり，
\( FH：CH=DF：BC=1：2 \)
線分 \( DE，BC \) をそれぞれ延長したときの交点を点 \( I \) とすると，
\( △ADE \) と \( △BIE \) において，
長方形のすべての角は \( 90° \) なので，\( ∠DAE=∠IBE \)
対頂角は等しいので，\( ∠AED=∠BEI \)
\( E \) は辺 \( AB \) の中点なので，\( AE=BE \)
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，\( △ADE≡△BIE \)
対応する辺の長さは等しいので，\( AD=BI \)
\( △DFG \) と \( △ICG \) において，
錯角は等しいので，
\( ∠GDF=∠GIC，∠GFD=∠GCI \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △DFG \) ∽ \( △ICG \)
\( FD：AD=1：2，AD=BC=BI \) より，\( FD：CI=1：4 \)
対応する辺の比は等しいので，\( GF：GC=FD：CI=1：4 \)
以上より，
\( FH：CH=1：2=5：10 \)
\( GF：GC=1：4=3：12 \)
であり，
\( FG：GH：HC=3：2：10 \)
\( GH：CF=2：15 \)
問➀で \( △AEF \) ∽ \( △ABD \)，相似比 \( 1：2 \) であることがわかっているので，
\( △CDF=DF \times CD \times \dfrac{1}{2} \)
\( =5 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
\( =15 \; (cm^2) \)
よって，
\( △DGH：△CDF=GH：CF \)
\( △DGH：15=2：15 \)
\( △DGH=2 \; (cm^2) \)
（３） 図で，立体 \( ABCDEFGH \) は底面が台形の四角柱で，\( AB//DC \) である。
\( AB=3 \; cm，AE=7 \; cm，CB=DA=5 \; cm，DC=9 \; cm \) のとき。
➀ 台形 \( ABCD \) の面積は \( cm^2 \) である。
点 \( A，B \) から辺 \( CD \) に垂線をひき，
交点を点 \( I，J \) とすると，
台形 \( ABCD \) は等脚台形なので，\( ID=JC=3 \; cm \)
（詳細は別途解説あります）
\( △AID \) において，三平方の定理より，
\( AI^2=AD^2-ID^2 \)
\( =5^2-3^2 \)
\( =16 \)
\( AI=4 \; (cm) \) （ \( AI>0 \) より）
よって，
台形 \( ABCD=(AB+CD) \times AI \times \dfrac{1}{2} \)
\( =(3+9) \times 4 \times \dfrac{1}{2}=24 \; (cm^2) \)
\( △AID \) と \( △BCJ \) において，
仮定より，\( AD=BC=5cm \)
四角形 \( ABJI \) は長方形で，
長方形の向かい合う辺は等しいので，\( AI=BJ \)，
\( AI⊥CD，BJ⊥CD \) より，\( ∠AID=∠BIC=90° \)
直角三角形の斜辺と他の１辺の長さが等しいので，
\( △AID≡△BCJ \)
対応する辺の長さは等しいので，\( ID=JC \)
よって，\( ID=\dfrac{CD-IJ}{2}=3 \; (cm) \)
➁ 立体 \( ABEFGH \) の体積は \( cm^3 \) である。
立体 \( ABEFGH \) を面 \( AEK，BFL \) で切断すると，
三角すい \( A-EHK \)，三角柱 \( AEK-BFL \)，
三角すい \( B-FGL \) の３つに分かれます。
四角形 \( ABCD \) と四角形 \( EFGH \) は合同なので，
問➀より，
\( HK=GL=3 \; cm，EK=FL=4 \; cm \)
であり，
三角すい \( A-EHK \) の体積は，
\( \left( HK \times EK \times \dfrac{1}{2} \right) \times AE \times \dfrac{1}{3} =\left( 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 7 \times \dfrac{1}{3} \)
\( =14 \; (cm^3) \)
三角柱 \( AEK-BFL \) の体積は，
\( \left( AE \times EK \times \dfrac{1}{2} \right) \times AB=\left( 7 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 3 \)
\( =42 \; (cm^3) \)
三角すい \( B-FGL \) の体積は，
\( \left( GL \times FL \times \dfrac{1}{2} \right) \times BF \times \dfrac{1}{3} =\left( 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 7 \times \dfrac{1}{3} \)
\( =14 \; (cm^3) \)
よって，
立体 \( ABEFGH= \) 三角すい \( A-EHK+ \) 三角柱 \( AEK-BFL+ \) 三角すい \( B-FGL \)
\( =14+42+14 \)
\( =70 \; (cm^3) \)
