大問１
（１） \( 9+4 \times (-2) \) を計算しなさい。
（２） \( \dfrac{5}{11} \div \left( -\dfrac{2}{3} \right) \) を計算しなさい。
（３） 次の連立方程式を解きなさい。
\( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-5 \\
-x+3y=9 \\
\end{array} \right. \)
（４） \( (\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-3) \) を計算しなさい。
（５） \( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=6 \) のとき \( y=12 \) です。このとき，\( y \) をの式で表しなさい。
（６） １つの外角の大きさが \( 40° \) である正多角形の辺の数を求めなさい。
（７） 右の図のように， \( AB=4 \; cm，BC=7 \; cm，∠A=90° \) の直角三角形 \( ABC \) があります。辺 \( AC \) の長さは何 \( cm \) ですか。
（８） 袋の中に白玉と黒玉の２種類の玉が合計 \( 450 \) 個入っています。この袋の中の玉をよくかき混ぜてから，\( 35 \) 個の玉を無作為に抽出したところ，白玉が \( 21 \) 個，黒玉が \( 14 \) 個ふくまれていました。はじめに袋の中に入っていた黒玉の個数はおよそ何個と考えられますか。次のア〜エの中から，最も適当なものを選び，その記号を書きなさい。
ア およそ \( 180 \) 個 イ およそ \( 210 \) 個 ウ およそ \( 240 \) 個 エ およそ \( 270 \) 個
大問２
（１） 右の図のように，円すいの展開図があり，側面となるおうぎ形 \( OAB \) は半径が \( OA=3 \; cm \)，中心角が \( ∠AOB=72° \) です。この展開図を組み立ててできる円すいの表面積は何 \( cm^2 \) ですか。ただし，円周率は \( \pi{} \) とします。
円すいの展開図において，
おうぎ形の弧と底面の円周の長さは等しいので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB }=2\pi{} \times 3 \times \dfrac{72°}{360°}=\dfrac{6}{5}\pi{} \; (cm) \)
底面の半径を \( r \; cm \) とすると，
\( 2\pi{}r=\dfrac{6}{5}\pi{} \)
\( r=\dfrac{3}{5} \; (cm) \)
おうぎ形 \( OAB \) の面積は，
\( \pi{} \times 3^2 \times \dfrac{72°}{360°}=\dfrac{9}{5}\pi{} \; (cm^2) \)
底面の円の面積は，
\( \pi{} \times \left(\dfrac{3}{5} \right) ^2=\dfrac{9}{25}\pi{} \; (cm^2) \)
なので，円すいの表面積は，
\( \dfrac{9}{5}\pi{}+\dfrac{9}{25}\pi{}=\dfrac{54}{25}\pi{} \; (cm^2) \)
（２） 次の図のように，８段の階段があり，川口さんは床の位置にいます。川口さんは，正しく作られた大小２つのさいころを同時に１回投げて，あとの【規則】に従ってこの階段を移動します。
床の位置から，大小２つのさいころの出た目の数の和だけ，上に向かって１段ずつ移動する。８段目に到達したときに移動する数が残っていれば，８段目から，残っている数だけ下に向かって１段ずつ移動する。
移動を終えたときに６段目にいるのは，出た目の数の和が \( 6 \) または \( 10 \) のときです。
２つのさいころの出た目の数の組み合わせと
それぞれの場合の和を表に書き出し，
出た目の数の和が \( 6 \) または \( 10 \) のところに
○ をつけてみます。
出た目の和が \( 6 \) または \( 10 \) になるのは \( 8 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)
（３） 次の図は，ある中学校のＡ班 \( 23 \) 人とＢ班 \( 23 \) 人のハンドボール投げの記録を班ごとに箱ひげ図に表したものです。この箱ひげ図から読み取れることとして必ず正しいといえるものを，下のア～オの中から全て選び，その記号を書きなさい。ただし，記録はメートルを単位とし，メートル未満は切り捨てるものとします。
ア Ａ班の記録の平均値は \( 18 \; m \) である。
イ Ｂ班で，記録が \( 16 \; m \) の人は，少なくとも１人はいる。
ウ Ａ班の記録の範囲は，Ｂ班の記録の範囲より小さい。
エ Ｂ班の記録の四分位範囲は，Ａ班の記録の四分位範囲より大きい。
オ 記録が \( 22 \; m \) 以上の人は，Ｂ班にはＡ班の２倍以上いる。
イ ･･･ ２３人分のデータなので，第一四分位数は記録が小さい方から６番目の値になります。
Ｂ班は第一四分位数が \( 16 \; m \) なので，記録が \( 16 \; m \) の人は，少なくとも１人はいるといえます。
エ ･･･ 四分位範囲は，箱の長さで比較することができます。
箱の長さはＢ班の方がＡ班よりも長いので，
Ｂ班の記録の四分位範囲は，Ａ班の記録の四分位範囲より大きいといえます。
オ ･･･ Ａ班，Ｂ班ともに２３人分のデータなので，中央値は記録が大きい方から１２番目，
第三四分位数は記録が大きい方から６番目の値になります。
Ｂ班は中央値が \( 22 \; m \) なので，Ｂ班には記録が \( 22 \; m \) 以上の人が１２人以上います。
Ａ班は第三四分位数が \( 20 \; m \) なので，Ａ班で記録が \( 22 \; m \) 以上の人は５人未満です。
よって，記録が \( 22 \; m \) 以上の人は，Ｂ班にはＡ班の２倍以上いるといえます。
【正しくない理由】
ア ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは，平均値はわかりません。
ウ ･･･ 範囲は，最大値 \( – \) 最小値 で求めることができます。
Ａ班の記録の範囲は，\( 32-7=25 \; (m) \)
Ｂ班の記録の範囲は，\( 34-11=23 \; (m) \)
なので，Ａ班の記録の範囲は，Ｂ班の記録の範囲より大きくなっています。
大問３
右の図のように，関数 \( y=\dfrac{18}{x} \) のグラフ上に，\( y \) 座標が \( 9 \) である点 \( A \) と \( x \) 座標が \( 6 \) である点 \( B \) があります。また，このグラフ上に，\( x<0 \) の範囲で動く点 \( C \) があります。点 \( A \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と，点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線との交点を \( D \)，点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と，\( x \) 軸との交点を \( E \) とします。
次の（１）・（２）に答えなさい。
（１） 点 \( C \) の \( x \) 座標が \( -6 \) のとき，直線 \( CD \) の式を求めなさい。
点 \( C \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -6 \) なので，\( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{18}{-6}=-3 \)
点 \( C \) の座標は \( C(-6，-3) \)
点 \( D \) は点 \( B \) と \( x \) 座標が等しく，
点 \( A \) と \( y \) 座標が等しいので，
点 \( D \) の座標は \( D(6，9) \)
直線 \( CD \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{9-(-3)}{6-(-6)}=1 \)
\( y=x+b \) に \( x=6，y=9 \) を代入すると，
\( 9=6+b \)
\( b=3 \)
よって，直線 \( CD \) の式は \( y=x+3 \)
（２） \( △ABD \) と \( △BCE \) の面積の比が \( 3：4 \) となるとき，点 \( C \) の \( x \) 座標を求めなさい。
点 \( A \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 9 \) なので，\( x \) 座標は \( 2 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( A(2，9) \)
点 \( B \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 6 \) なので，\( y \) 座標は \( 3 \)
であり，点 \( B \) の座標は \( B(6，3) \)
また，点 \( D \) の座標は \( D(6，9) \) なので，
\( △ABD \) の面積は，
\( 4 \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \)
ここから，\( △ABD：△BCE=3：4 \) のとき，
\( △BCE=\dfrac{4}{3} \times 12=16 \)
また，\( △BCE \) において， \( BE(=3) \) を底辺と考えると，
点 \( C \) の \( x \) 座標を \( t \) としたとき，
高さは \( 6-t \) と表すことができます。
ここで，\( △BCE \) の面積の関係を方程式として表すと，
\( 3 \times (6-t) \times \dfrac{1}{2}=16 \)
\( 18-3t=32 \)
\( 3t=-14 \)
\( t=-\dfrac{14}{3} \)
大問４
右の図のように，\( △ABC \) は鋭角三角形で，頂点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の円周上にあります。点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線 \( AD \) を引きます。また，点 \( B \) から辺 \( AC \) に垂線を引き，線分 \( AD \) との交点を \( E \)，辺 \( AC \) との交点を \( F \)，円 \( O \) との交点を \( G \) とします。さらに，点 \( A \) と点 \( G \) を結びます。このとき，\( △AEF≡△AGF \) であることを証明しなさい。
\( △AEF \) と \( △AGF \) において，
仮定より \( BG⊥AC \) なので，
\( ∠AFE=∠AFG \) ･･･ ➀
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
\( ∠AGF=ACD \) ･･･ ➁
仮定より \( AD⊥BC \) なので，
\( ∠EAF=90°-∠ACD \) ･･･ ➂
また，
\( ∠GAF=90°-∠AGF \) ･･･ ➃
➁➂➃より，
\( ∠EAF=∠GAF \) ･･･ ➄
さらに，\( AF \) は共通 ･･･ ⑥
➀➄➅より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △AEF≡△AGF \)
大問５
ある観光地には，自転車をレンタルすることができるお店がＡ店とＢ店の２店あります。右の表１は，Ａ店のレンタル料金表であり，表１中の料金欄には，借りた時間の区分ごとの自転車１台当たりの料金を示しています。Ａ店で自転車を借りることができる最大の時間は１２時間です。自転車１台を \( x \) 時間借りたときの料金を \( y \) 円として，表１を基に，Ａ店における \( x \) と \( y \) の関係をグラフで表すと，図１のようになります。
次の（１）・（２）に答えなさい。
（１） Ａ店における \( x \) と \( y \) の関係について，\( y \) は \( x \) の関数であるといえます。その理由を書きなさい。
（２） 右の表２は，Ｂ店のレンタル料金表であり，表２中の料金欄には，借りた時間の区分ごとの自転車１台当たりの料金を示しています。Ｂ店で自転車を借りることができる最大の時間は１２時間です。表２を基に，Ｂ店における \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフを，Ａ店にならって，図１にかき入れなさい。
また，下の【自転車１台をＡ店で借りたときの料金とＢ店で借りたときの料金の比較】の ア ・ イ に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。
Ｂ店よりＡ店の方が料金が安いのは，借りた時間が ア 時間より長く イ 時間以内の場合と８時間より長く１２時間以内の場合であり，借りた時間がそれ以外の場合はＡ店よりＢ店の方が料金が安い。
ア ･･･ ４
イ ･･･ ６
【解説】
グラフが下にあるほど安くなるのだから，
同じ \( x \) の値で黒の直線が赤の直線より
下にある範囲を探せばいいことになります。
４時間未満 \( (0≦x≦4) \) の範囲では，
赤の直線の方が下にあります。
４時間 \( (x=4) \) を超えると，
Ｂ店の料金が上がるので，赤の直線が上に移動し，
黒の直線の方が下になります。
さらに，６時間 \( (x=6) \) を超えると，
Ａ店の料金が上がるので，黒の直線が上に移動し，
赤の直線の方が下になります。
つまり，４時間より長く６時間以内の範囲が
Ｂ店よりＡ店の方が安くなることになります。
大問６
石田さんは，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和からある自然数をひいた数について，どのようなことが成り立つかを調べています。
\( 1，2，3 \) では，\( 1^2+2^2+3^2-2=12=3×2^2 \)
\( 2，3，4 \) では，\( 2^2+3^2+4^2-2=27=3×3^2 \)
\( 3，4，5 \) では，\( 3^2+4^2+5^2-2=48=3×4^2 \)
上の計算の結果では，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の中央の数を２乗して３倍した数と等しくなっていました。そこで，石田さんは，上の計算の結果から次のことを予想しました。
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の中央の数を
２乗して３倍した数と等しくなる。
次の（１）～（３）に答えなさい。
（１） 石田さんは，この【予想】がいつでも成り立つことを，次のように説明しました。
【説明】
\( n \) を整数とすると，連続する３つの整数は，\( n，n+1，n+2 \) と表される。
\( \boxed{\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\\aa\\aa\\aa\\}} \)
したがって，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の
中央の数を２乗して３倍した数と等しくなる。
【説明】の \( \boxed{\phantom{aaaa}} \) に説明の続きを書き、説明を完成させなさい。
（２） 次に，石田さんは，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数について調べたところ，次の【性質Ⅰ】がいつでも成り立つことが分かりました。
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する３つの整数のうち
ア を イ 倍した数と等しくなる。
【性質Ⅰ】の ア には，当てはまる言葉を次の①～⑥の中から選び，その番号を書き， イ には，当てはまる数を書きなさい。
① 最も小さい数と中央の数の和
② 最も小さい数と最も大きい数の和
③ 中央の数と最も大きい数の和
④ 最も小さい数と中央の数の積
⑤ 最も小さい数と最も大きい数の積
⑥ 中央の数と最も大きい数の積
（３） さらに，石田さんは，連続する４つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数についても調べたところ，次の【性質Ⅱ】・【性質Ⅲ】がいつでも成り立つことが分かりました。
連続する４つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する４つの整数のうち最も
小さい数と最も大きい数の和を２乗した数と等しくなる。
連続する４つの整数のそれぞれの2乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する４つの整数のうち ウ を２乗した数と等しくなる。
【性質Ⅲ】の ウ に当てはまる言葉を，次の①～⑤の中から選び，その番号を書きなさい。
① 最も小さい数と小さい方から２番目の数の和
② 最も小さい数と大きい方から２番目の数の和
③ 小さい方から２番目の数と大きい方から２番目の数の和
④ 小さい方から２番目の数と最も大きい数の和
⑤ 大きい方から２番目の数と最も大きい数の和
