大問１
(1) \( 3+8 \div (-4) \) を計算せよ。
(2) \( 6×\dfrac{5}{3}-5^2 \) を計算せよ。
(3) \( \dfrac{x+2y}{2}+\dfrac{4x-y}{6} \) を計算せよ。
(4) \( \sqrt{8}-\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{27}) \) を計算せよ。
(5) \( (x+1)(x-3)+4 \) を因数分解せよ。
(6) \( x \) についての２次方程式 \( -x²+ax+21=0 \) の解の１つが \( 3 \) のとき，\( a \) の値を求めよ。
(7) 次のア～エの数のうち，１２の倍数であるものはどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。
ア \( 2 \times 3^4 \) イ \( 2 \times 3^2 \times 7 \) ウ \( 2^2 \times 3^2 \times 5 \) エ \( 2^3 \times 5 \times 7 \)
大問２
(1) 右の図のような，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) があり，円周上に２点 \( A，B \) と異なる点 \( C \) をとる。線分 \( AB \) 上に，２点 \( A，B \) と異なる点 \( D \) をとる。２点 \( C，D \) を通る直線と円 \( O \) との交点のうち，点 \( C \) と異なる点を \( E \) とする。点 \( A \) と点 \( C \)，点 \( B \) と点 \( E \) をそれぞれ結ぶ。
\( ∠BCE=35°，∠ADC=60° \) であるとき，\( ∠BEC \) の大きさは何度か。
\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) の円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
\( ∠ACD=∠ACB-∠BCD=55° \)
\( ∠CAD=180°-(∠ACD+∠ADC)=65° \)
弧 \( BC \) の円周角なので，\( ∠BEC=∠CAD=65° \)
(2) 右の図のような三角柱がある。辺 \( DE \) 上に２点 \( D，E \) と異なる点 \( G \) をとり，点 \( G \) を通り，辺 \( EF \) に平行な直線と，辺 \( DF \) との交点を \( H \) とする。
\( AB=12 \; cm，BC=5 \; cm，DG=9 \; cm，∠DEF=90° \) で，この三角柱の表面積が \( 240 \; cm^2 \) であるとき，次のア，イの問いに答えよ。
ア 線分 \( GH \) の長さは何 \( cm \) か。
イ この三角柱の体積は何 \( cm^3 \) か。
三角柱の２つの底面（上面と下面）の面積は，
\( 12 \times 5 \times \dfrac{1}{2}=30 \; (cm^2) \)
なので，側面にあたる３つの面の面積の合計は，
\( 240-30 \times 2=180 \; (cm^2) \)
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
\( AC^2=12^2+5^2=169 \; (cm^2) \)
\( AC=13 \; (cm) \) (\( AC>0 \)より)
この三角柱の展開図を考えると，側面にあたる３つの面は，右図のように長方形になります。
このとき，
\( DD=DE+EF+FD=30 \; (cm) \)，
面積は \( 180 \; cm^2 \) なので，
\( AD=\dfrac{180}{30}=6 \; (cm) \)
よって，三角柱の体積は，
\( △ABC \times AD=30 \times 6=180 \; (cm^3) \)
(3) 右の図のような，正方形 \( ABCD \) がある。辺 \( CD \) 上に，２点 \( C，D \) と異なる点 \( E \) をとり，点 \( A \) と点 \( E \) を結ぶ。点 \( D \) から線分 \( AE \) に垂線をひき，その交点を \( F \) とし，直線 \( DF \) と辺 \( BC \) との交点を \( G \) とする。点 \( A \) を中心 として，半径 \( AB \) の円をかき，線分 \( DG \) との交点のうち，点 \( D \) と異なる点を \( H \) とする。
\( AB=5 \; cm，DE=2 \; cm \) であるとき，線分 \( GH \) の長さは何 \( cm \) か。
\( △ADE \) において，\( ∠DAE=○，∠AED=× \) とすると，
３つの角が \( ○，×，90° \) になっており，
\( ○+×+90°=180° \)
\( ○+×=90° \)
ここから，\( △AFD，△DFE，△DCG \) も
３つの角が \( ○，×，90° \) になっており，
これら４つの三角形はすべて相似になっています。
\( △ADE \) において，\( AD=AB=5 \; cm，DE=2 \; cm \) なので，三平方の定理より，
\( AE^2=5^2+2^2=29 \; (cm^2) \)
\( AE=\sqrt{29} \; (cm) \) (\( AE>0 \)より)
\( △ADE \) ∽ \( △DFE \) より，
\( AD：DF=AE：DE \)
\( 5：DF=\sqrt{29}：2 \)
\( DF=\dfrac{10}{\sqrt{29}}=\dfrac{10\sqrt{29}}{29} \; (cm) \)
\( △ADH \) は \( AD=AH \) の二等辺三角形で，
頂角から底辺に垂線をひいたとき，底辺を２等分するので，
\( FH=DF=\dfrac{10\sqrt{29}}{29} \; (cm) \)
よって，
\( DH=DF+FH \)
\( =\dfrac{10\sqrt{29}}{29}+\dfrac{10\sqrt{29}}{29} \)
\( =\dfrac{20\sqrt{29}}{29} \; (cm) \)
\( △ADE \) と \( △DCG \) において，
\( AD=DC，∠ADE=∠DCG，∠DAE=∠CDG \) より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADE≡△DCG \)
対応する辺の長さは等しいので，\( DG=AE=\sqrt{29} \; (cm) \)
以上より，
\( GH=DG-DH=\dfrac{9\sqrt{29}}{29} \; (cm) \)
大問３
(1) \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=5 \) である。\( x=3 \) のときの \( y \) の値を求めよ。
(2) ２つのくじＡ，Ｂがある。くじＡには，５本のうち，２本の当たりが入っている。くじＢには，４本のうち，３本の当たりが入っている。くじＡ，Ｂからそれぞれ１本ずつくじを引くとき，引いた２本のくじのうち，少なくとも１本は当たりである確率を求めよ。
当たりが含まれる場合には ○ ，２本ともはずれの場合には × をつけます。
すべての組み合わせは２０通り，２本ともはずれの組み合わせは１７通りなので，
確率は \( \dfrac{17}{20} \)
(3) 右の図は，Ａ駅，Ｂ駅，Ｃ駅それぞれの駐輪場にとまっている自転車の台数を，６月の３０日間，毎朝８時に調べ，そのデータを箱ひげ図に表したものである。次のア～エのうち，この箱ひげ図から読みとれることとして，必ず正しいといえることはどれか。２つ選んで，その記号を書け。
ア Ａ駅について，自転車の台数が２００台以上であった日数は１５日
以上である。
イ Ａ駅とＢ駅について，自転車の台数が１５０台未満であった日数を
比べると，Ｂ駅の方が多い。
ウ Ｂ駅とＣ駅について，自転車の台数の四分位範囲を比べると，Ｃ駅
の方が大きい。
エ Ａ駅，Ｂ駅，Ｃ駅について，自転車の台数の最大値を比べると，Ｃ
駅がもっとも大きい。
(4) 右の図で，点 \( O \) は原点であり，放物線 ① は関数 \( y=x^2 \) のグラフである。
２点 \( A，B \) は放物線 ① 上の点で，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( -2 \) であり，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は放物線 ① 上の点で，その \( x \) 座標は負の数である。点 \( C \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線をひき，直線 \( OB \) との交点を \( D \) とする。これについて，次のア，イの問いに答えよ。
ア 関数 \( y=x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -\dfrac{3}{2}≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めよ。
\( y=ax^2 \) \( (a>0) \) のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は必ず \( 0 \) になります。
また，このグラフは \( y \) 軸に対して対称なので，
\( x \) の絶対値が最大になるとき，\( y \) の値も最大になります。
\( -\dfrac{3}{2}≦x≦1 \) の範囲において，\( x \) の絶対値が最大になるのは \( x=-\dfrac{3}{2} \) のときなので，
\( y \) の最大値は，\( y=\left( -\dfrac{3}{2} \right)^2=\dfrac{9}{4} \)
以上より，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \)
イ \( AB：CD=8：5 \) であるとき，点 \( C \) の \( x \) 座標はいくらか。点 \( C \) の \( x \) 座標を \( a \) として，\( a \) の値を求めよ。\( a \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。
線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行，点 \( A \) の \( x \) 座標の値は \( -2 \) から，
点 \( B \) の \( x \) 座標の値は \( 2 \) になります。
点 \( B \) は \( y=x^2 \) 上の点なので，\( y \) 座標の値は\( y=2^2=4 \)
ここから，直線 \( OB \) の式は \( y=2x \)
点 \( C \) は \( y=x^2 \) 上の点なので，\( x \) 座標を \( a \) とするとき，
\( y \) 座標は \( a^2 \) と表すことができます。
線分 \( CD \) は \( x \) 軸に平行なので，
点 \( D \) の \( y \) 座標は点 \( C \) と等しく，\( a^2 \)
点 \( D \) は \( y=2x \) 上の点なので，\( x \) 座標の値は，
\( a^2=2x \)
\( x=\dfrac{a^2}{2} \)
よって，線分 \( CD \) の長さは，\( \dfrac{a^2}{2}-a \)
線分 \( AB \) の長さは，\( 4 \) なので，
\( AB：CD=8：5 \)
\( 4：\left( \dfrac{a^2}{2}-a \right)=8：5 \)
\( 4a^2-8a=20 \)
\( a^2-2a-5=0 \)
\( a=\dfrac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2} \)
\( =\dfrac{2±\sqrt{24}}{2} \)
\( =1±\sqrt{6} \)
\( a<0 \)より，\( a=1-\sqrt{6} \)
大問４
(1) 次の会話文を読んで，あとのア，イの問いに答えよ。
先生：ここに何も書かれていないカードがたくさんあります。このカードと何も入っていない袋を使って，次の操作⓵から操作⓹を順におこなってみましょう。
操作⓵ ５枚のカードに自然数を１つずつ書き，その５枚のカードをすべて袋に入れる。
操作⓶ 袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( a \) とし，
新しい１枚のカードに \( a \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。
操作⓷ 袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( b \) とし，
新しい１枚のカードに \( b+1 \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。
操作⓸ 袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( c \) とし，
新しい１枚のカードに \( c+2 \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。
操作⓹ 袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( Ｘ \) とする。
花子：私は操作⓵で５枚のカード \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) を袋に入れます。次に操作⓶をします。袋の中から \( \fbox{3} \) と \( \fbox{5} \) を取り出したので，\( \fbox{8} \) を袋に入れます。操作⓶を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{7}，\fbox{8} \) の４枚になりました。
太郎：私も操作⓵で５枚のカード \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) を袋に入れました。操作⓶を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{3}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) の４枚になりました。次に操作③をします。袋の中から \( \fbox{3} \) と \( \fbox{3} \) を取り出したので，\( \fbox{7} \) を袋に入れます。操作⓷を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{5}，\fbox{7}，\fbox{7} \) の３枚になりました。
花子：操作⓹を終えると，私も太郎さんも \( X= \) Ｐ になりました。
先生：２人とも正しく \( X \) の値が求められましたね。
ア 会話文中の Ｐ の 内にあてはまる数を求めよ。
イ 次郎さんも，花子さんや太郎さんのように，操作⓵から操作⓹を順におこなってみることにした。そこで，操作⓵で異なる５つの自然数を書いた５枚のカードを袋に入れた。操作⓶で取り出した２枚のカードの一方に書いてある数は \( 3 \) であった。操作⓷で取り出した２枚のカードの一方に書いてある数は \( 1 \) であり，操作⓷を終えたとき，袋の中にある３枚のカードに書いてある数はすべて同じ数であった。操作⓹を終えると \( X=62 \) になった。このとき，次郎さんが操作⓵で書いた５つの自然数を求めよ。
操作⓷を終えたとき，袋の中にある３枚のカードを \( \fbox{N} \) とすると，
操作⓸を終えたとき，袋の中にある２枚のカードは \( \fbox{N}，\fbox{2N+2} \) になるので，
\( X=N+2N+2=3N+2 \)
よって，
\( 3N+2=62 \)
\( N=20 \)
操作⓷を終えたとき，袋の中にある \( \fbox{N} \) のうち１枚は \( \fbox{M+2} \) と表すことができるので，
\( M+2=20 \)
\( M=18 \)
ここから，操作⓶を終えたとき，袋の中にある４枚のカードは \( \fbox{1}，\fbox{18}，\fbox{20}，\fbox{20} \)
操作⓵の５枚は異なる数が書かれていたので，
\( \fbox{20} \) のうち１枚は操作⓶で新たに加えられたものだとわかります。
操作⓶で取り出したカードの一方が \( \fbox{3} \) ということは，
もう一方のカードは \( \fbox{17} \) ということになります。
以上より，操作⓵で袋に入れたカードは，\( \fbox{1}，\fbox{3}，\fbox{17}，\fbox{18}，\fbox{20} \)
(2) ２日間おこなわれたバザーで，太郎さんのクラスは，ペットボトル飲料，アイスクリーム，ドーナツの３種類の商品を仕入れて販売した。バザーは，１日目，２日目とも９時から１５時まで実施された。
１日目の８時に，太郎さんのクラスへ，１日目と２日目で販売するペットボトル飲料とアイスクリームのすべてが届けられた。このとき，１日目に販売するドーナツも届けられた。また，２日目の８時に，２日目に販売するドーナツが届けられ，その個数は，１日目の８時に届けられたドーナツの個数の３倍であった。
ペットボトル飲料は，１日目と２日目で合計２８０本売れ，１日目に売れたペットボトル飲料の本数は，２日目に売れたペットボトル飲料の本数よりも１３０本少なかった。
１日目において，１日目の８時に届けられたドーナツはすべて売れた。１日目に売れたアイスクリームの個数は，１日目の８時に届けられたアイスクリームの個数の３０％で，１日目に売れたドーナツの個数よりも３４個多かった。
２日目は，アイスクリーム１個とドーナツ１個をセットにして販売することにした。１日目が終了した時点で残っていたアイスクリームの個数が，２日目の８時に届けられたドーナツの個数よりも多かったので，ドーナツはすべてセットにできたが，いくつかのアイスクリームはセットにできなかった。セットにできなかったアイスクリームは１個ずつで販売され，セットにしたアイスクリームとは別に４個が売れた。２日目が終了した時点で，アイスクリームは５個，ドーナツは３個残っていた。
これについて，次のア〜ウの問いに答えよ。
ア １日目に売れたペットボトル飲料の本数は何本か。
イ 下線部について，１日目に届けられたアイスクリームの個数を \( x \) 個，１日目に届けられたドーナツの個数を \( y \) 個として，\( y \) を \( x \) を使った式で表せ。
ウ １日目に届けられたアイスクリームの個数を \( x \) 個，１日目に届けられたドーナツの個数を \( y \) 個として，\( x，y \) の値を求めよ。\( x，y \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。
ドーナツはすべてセットにできたので，２日目に用意したセットの個数も \( 3y \) 個
２日目終了時点で，ドーナツは３個残っていたので，残ったセットの個数も３個
２日目終了時点で，残っていたアイスクリーム５個のうち３個はセットにしていたものなので，
のこりの２個は単品で売っていたものです。単品で売れたアイスクリームは４個なので，
１日目に残ったアイスクリームの個数は，\( 3y+6 \) 個
これは，１日目に届けられたアイスクリームの個数の７０％にあたるので，
\( 3y+6=0.7x \) ･･･ ➀
➀とイの式を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
3y+6=0.7x \:\: ･･･ \:\: ➀ \\
y=0.3x-34 \:\: ･･･ \:\: ➁
\end{array} \right. \)
➀に➁を代入
\( 3(0.3x-34)+6=0.7x \)
\( 0.9x-102+6=0.7x \)
\( 0.2x=96 \)
\( x=480 \)
➁に代入
\( y=0.3 \times 480-34 \)
\( =110 \)
大問５
右の図のような，鋭角三角形 \( ABC \) があり，辺 \( AC \) を１辺にもつ正方形 \( ACDE \) を \( △ABC \) の外側につくる。辺 \( AC \) と線分 \( BE \) との交点を \( F \) とする。点 \( C \) から線分 \( BE \) に垂線をひき，その交点を \( G \) とする。点 \( A \) を通り，辺 \( AB \) に垂直な直線をひき，直線 \( CG \) との交点を \( H \) とする。また，点 \( F \) を通り，線分 \( GC \) に平行な直線をひき，辺 \( CD \) との交点を \( I \) とする。
このとき，次の(1) ，(2)の問いに答えなさい。
(1) \( △CFG \) ∽ \( △FIC \) であることを証明せよ。
\( △CFG \) と \( △FIC \) において，
仮定より，\( ∠CGF=90° \) ･･･ ➀
正方形の内角はすべて \( 90° \) なので，\( ∠FCI=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠CGF=∠FCI \) ･･･ ➂
\( ∠FCG=180°-(∠CGF+∠CFG) \)
\( =90°-∠CFG \) ･･･ ➃
\( CG⊥BE，IF//CG \) より，\( IF⊥BE \)
\( ∠IFC=∠IFG-∠CFG \)
\( =90°-∠CFG \) ･･･ ➄
➃➄より，\( ∠FCG=∠IFC \) ･･･ ⑥
➂➅より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △CFG \) ∽ \( △FIC \)
(2) 直線 \( AH \) と線分 \( BE \) との交点を \( J \)，辺 \( AB \) と線分 \( CH \) との交点を \( K \) とする。このとき，\( BJ=HK \) であることを証明せよ。
\( △ABE \) と \( △AHC \) において，
正方形の４辺はすべて等しいので，\( AE=AC \) ･･･ ➀
正方形の内角はすべて \( 90° \) なので，\( ∠EAC=90° \)
仮定より \( AB⊥AH \) なので，\( ∠EAC=∠BAH=90° \)
\( ∠BAE=∠EAC+∠BAC=90°+∠BAC \)
\( ∠HAC=∠BAH+∠BAC=90°+∠BAC \)
よって，\( ∠BAE=∠HAC \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，\( ∠AFE=∠GFC \)
\( CG⊥BE \) より，\( ∠CGF=90° \)
\( ∠AEF=180°-(∠EAF+∠AFE)=90°-∠AFE \)
\( ∠GCF=180°-(∠CGF+∠GFC)=90°-∠GFC \)
よって，\( ∠AEF=∠GCF \) ･･･ ➂
➀➁➂より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABE≡△AHC \)
対応する辺の長さと角の大きさは等しいので，
\( AB=AH \) ･･･ ④
\( ∠ABE=∠AHC \) ･･･ ➄
\( △ABJ \) と \( △AHK \) において，
仮定より \( AB⊥HJ \) なので，\( ∠HAK=∠BAJ \) ･･･ ⑥
④➄⑥より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABJ≡△AHK \)
対応する辺の長さは等しいので，\( BJ=HK \)
