大問１
（１） \( (-3)^3+4^2 \times \dfrac{9}{8} \) を計算せよ。
（２） \( 2x-6-\dfrac{x-7}{2} \) を計算せよ。
（３） \( \dfrac{2}{5}x^3y^3 \div (-2y) \div \left( -\dfrac{1}{25}xy^2 \right) \) を計算せよ。
（４） 関数 \( y=\dfrac{16}{x} \) について，\( x \) の値が \( 2 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めよ。
関数 \( y=\dfrac{16}{x} \) について，
\( x=2 \) のときの \( y \) の値は
\( y=\dfrac{16}{2}=8 \)
\( x=4 \) のときの \( y \) の値は
\( y=\dfrac{16}{4}=4 \)
なので，
変化の割合 \( =\dfrac{4-8}{4-2}=-2 \)
（５） 等式 \( a- 6c =8b \) を \( c \) について解け。
（６） \( \sqrt{125} \) を小数で表したとき，整数部分の値を求めよ。
（７） ２次方程式 \( 2x^2-18x+12=0 \) を解け。
（８） 右の図のような，半径が \( 4 \; cm \) の半球の表面積を求めよ。
（９） 右の表は，ある中学校の２年生 \( 25 \) 人の上体起こしの記録について，度数および累積相対度数をまとめたものである。 表中の \( \boxed{\phantom{ }X\phantom{ }} \) ～ \( \boxed{\phantom{ }Z\phantom{ }} \) に当てはまる数をそれぞれ求めよ。
大問２
\( 100 \) 円硬貨と \( 50 \) 円硬貨がそれぞれ２枚ずつある。この４枚の硬貨を同時に投げる。
このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。ただし，それぞれの硬貨の表裏の出方は，同様に確からしいものとする。
（１） \( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が少なくとも１枚は表となる確率を求めよ。
「５０Ａ」「５０Ｂ」の表裏の組み合わせは
\( ( \)５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表\( ) \)，\( ( \)表，裏\( ) \)，\( ( \)裏，表\( ) \)，\( ( \)裏，裏\( ) \)
の \( 4 \) 通りで，
少なくとも１枚は表となる組み合わせは，
\( ( \)５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表\( ) \)，\( ( \)表，裏\( ) \)，\( ( \)裏，表\( ) \)
の \( 3 \) 通りです。
つまり，\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が少なくとも１枚は表となる組み合わせは
\( ( \)１００Ａ，１００Ｂ，５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表，表，表\( ) \)，\( ( \)表，表，表，裏\( ) \)，\( ( \)表，表，裏，表\( ) \)
の３通りです。
すべての組み合わせは \( 2 \times 2 \times 2 \times 2=16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{16} \)
【別解】
４枚の硬貨の表裏の組み合わせを樹形図に書き出し，
\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が１枚だけ表になる組み合わせと
\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が２枚とも表になる組み合わせのところに ○ をつけると，
○ がつく組み合わせは \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 2 \times 2 \times 2 \times 2=16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{16} \)
（２） 表が出た硬貨の合計金額が \( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満になる確率を求めよ。
合計金額が「\( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満」に含まれない，
つまり，「\( 0 \) 円以上 \( 100 \) 円未満または \( 250 \) 円以上」に場合を考えると，
合計金額が \( 0 \) 円，\( 50 \) 円，\( 250 \) 円，\( 300 \) 円になるときです。
【合計金額が \( 0 \) 円になる場合】
４枚の硬貨がすべて裏のとき \( 1 \) 通りだけです。
【合計金額が \( 50 \) 円になる場合】
４枚のうち \( 50 \) 円硬貨１枚だけが表になるときなので，
あてはまる組み合わせは。\( ( \)裏，裏，表，裏\( ) \)，\( ( \)裏，裏，裏，表\( ) \) の \( 2 \) 通りです。
【合計金額が \( 250 \) 円になる場合】
４枚のうち \( 50 \) 円硬貨１枚だけが裏になるときなので，
あてはまる組み合わせは。\( ( \)表，表，表，裏\( ) \)，\( ( \)表，表，裏，表\( ) \) の \( 2 \) 通りです。
【合計金額が \( 300 \) 円になる場合】
４枚の硬貨がすべて表のとき \( 1 \) 通りだけです。
以上より，合計金額が「\( 0 \) 円以上 \( 100 \) 円未満または \( 250 \) 円以上」になる組み合わせは，
合計 \( 1+2+2+1=6 \) 通りで，その確率は \( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)
よって，合計金額が \( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満になる確率は，
\( 1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8} \)
【別解】
４枚の硬貨の表裏の組み合わせとそれぞれの場合の合計金額を樹形図に書き出し，
合計金額が \( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満になるところに ○ をつけると，
○ がつく組み合わせは \( 10 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8} \)
大問３
右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，２点 \( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( -6，8 \) である。また，２点 \( O，A \) を通る直線の傾きは \( -\dfrac{3}{2} \) である。
このとき，次の問い（１）～（３）に答えよ。
（１） \( a \) の値を求めよ。
（２） ２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めよ。
点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 8 \) なので，
\( y \) 座標は，
\( y=\dfrac{1}{4} \times 8^2=16 \)
よって，求める直線の式を \( y=mx+n \) とすると，
\( A(-6，9)，B(8，16) \) を通るので，
\( m=\dfrac{16-9}{8-(-6)}=\dfrac{1}{2} \)
\( y=\dfrac{1}{2}x+n \) に \( x=8，y=16 \) を代入すると，
\( 16=\dfrac{1}{2} \times 8+n \)
\( 16=4+n \)
\( n=12 \)
よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+12 \)
（３） 点 \( A \) を通り，傾きが \( -\dfrac{5}{6} \) である直線上に \( x \) 座標が正である点 \( C \) を，\( △AOB \) と \( △ACB \) の面積が等しくなるようにとるとき，点 \( C \) の座標を求めよ。
等積変形の考え方から，\( OC//AB \) となるとき，\( △AOB \) と \( △ACB \) の面積が等しくなります。
つまり，「点 \( O \) を通り，直線 \( AB \) と平行な直線」と「点 \( A \) を通り，傾きが \( -\dfrac{5}{6} \) である直線」の交点
が求める点 \( C \) になります。
（２）より，
直線 \( AB \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+12 \) なので，
「点 \( O \) を通り，直線 \( AB \) と平行な直線」
の式は \( y=\dfrac{1}{2}x \) になります。
「点 \( A \) を通り，傾きが \( -\dfrac{5}{6} \) である直線」の式を \( y=-\dfrac{5}{6}x+b \) とすると，\( A(-6，9) \) を通るので，
\( 9=-\dfrac{5}{6} \times (-6)+b \)
\( 9=5+b \)
\( b=4 \)
となり，この式は \( y=-\dfrac{5}{6}x+4 \) になります。
点 \( C \) は２本の直線 \( y=\dfrac{1}{2}x \) と \( y=-\dfrac{5}{6}x+4 \) の交点なので，
\( \dfrac{1}{2}x=-\dfrac{5}{6}x+4 \)
\( 3x=-5x+24 \)
\( 8x=24 \)
\( x=3 \)
\( y=\dfrac{1}{2}x \) に代入すると，
\( y=\dfrac{1}{2} \times 3=\dfrac{3}{2} \)
よって，点 \( C \) の座標は \( C \left( 3，\dfrac{3}{2} \right) \)
大問４
右の図のように，\( △ABC \) があり，\( AB=5 \; cm \)，
\( BC=7 \; cm，∠ACB=45° \) である。点 \( A \) から辺 \( BC \) にひいた垂線と辺 \( BC \) との交点を \( D \) とすると，\( BD<CD \) であった。線分 \( AD \) 上に点 \( E \) を，\( AB=CE \) となるようにとる。また，辺 \( AC \) 上に点 \( A \) と異なる点 \( F \) を，\( AB=BF \) となるようにとり，線分 \( AD \) と線分 \( BF \) との交点を \( G \) とする。
このとき，次の問い（１）・（２）に答えよ。
（１） \( △ABD≡△CED \) であることを証明せよ。
\( △ABD \) と \( △CED \) において，
仮定より \( AB=CE \) ･･･ ➀
\( AD⊥BC \) より
\( ∠ADB=∠CDE=90° \) ･･･ ②
\( ∠ACB=45°，∠ADC=90° \) より，
\( △ADC \) は直角二等辺三角形なので，
\( AD=CD \) ･･･ ➂
①②③より，
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい直角三角形なので，
\( △ABD≡△CED \)
（２） 線分 \( BD \) の長さを求めよ。また，線分 \( EG \) の長さを求めよ。
【線分 \( BD \) の長さ】
\( BD=x \; cm \) とすると，\( BC=7 \; cm \) より，
\( CD=7-x \; cm \)
\( △ADC \) は直角二等辺三角形なので，
\( AD=CD=7-x \; cm \)
\( △ABD \) において，三平方の定理より，
\( BD^2+AD^2=AB^2 \)
\( x^2+(7-x)^2=5^2 \)
\( 2x^2-14x+24=0 \)
\( x^2-7x+12=0 \)
\( (x-3)(x-4)=0 \)
\( x=3，4 \)
\( BD<CD \) より，\( 0<x<\dfrac{7}{2} \) なので，
あてはまるのは \( x=3 \; cm \)
【線分 \( EG \) の長さ】
\( △ABD \) と \( △BGD \) において，
\( △ABF \) は二等辺三角形なので，
\( ∠BAF=∠BFA \) ･･･ ①
また，\( ∠BAF=∠BAD+45° \) ･･･ ➁
\( ∠BFA \) は \( △BCF \) の外角なので，
\( ∠BFA=∠GBD＋45° \) ･･･ ➂
①➁➂より，
\( ∠BAD=∠GBD \) ･･･ ➃
\( ∠BDG \) は共通 ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABD \) ∽ \( △BGD \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
\( BD：GD=AD：BD \)
\( 3：GD=4：3 \)
\( 4GD=9 \)
\( GD=\dfrac{9}{4} \; (cm) \)
（１）より \( △ABD≡△CED \) であり，
\( ED=BD=3 \; cm \) なので，
\( EG=ED-GD \)
\( =3-\dfrac{9}{4} \)
\( =\dfrac{3}{4} \; (cm) \)
大問５
右のⅠ図のように，底面が台形で，側面がすべて長方形である四角柱 \( ABCD-EFGH \) の形をした透明な容器があり，\( AD//BC，AB=AD=CD=8 \; cm \)，
\( BC=16 \; cm，AE=4 \; cm \)である。この容器を右のⅡ図のように，長方形 \( BCGF \) が底になるように水平な台の上に置き，容器の底から高さ \( 3\sqrt{3} \; cm \) のところまで水を入れる。
このとき，次の問い（１）～（３）に答えよ。ただし，容器から水はこぼれないものとし，容器の厚さは考えないものとする。
（１） この容器の, 長方形 \( BCGF \) を底面としたときの高さを求めよ。
点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( P \) とすると，
四角形 \( ABCD \) は等脚台形なので，
\( BP=\dfrac{16-8}{2}=4 \; (cm) \)
\( AB=8 \; cm，BP=4 \; cm，∠APB=90° \)
より，
\( △ABP \) は３辺の比が \(1：2：\sqrt{3} \) の直角三角形
なので，
\( AP=\sqrt{3}BP=4\sqrt{3} \; (cm) \)
点 \( A，D \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( P，Q \) とすると，
\( △ABP \) と \( △DCQ \) において，
\( ∠APB=∠DQC \) ･･･ ①
仮定より \( AB=DC=8 \; cm \) ･･･ ➁
\( AD//BC，AP⊥BC，DQ⊥BC \) より，
\( AP=DQ \) ･･･ ➂
①➁➂より，
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい直角三角形なので，
\( △ABP≡△DCQ \)
対応する辺は等しいので，\( BP=CQ \)
\( AD//BC，AP⊥BC，DQ⊥BC \) より，
\( AD=PQ=8 \; cm \) なので，
\( BP=\dfrac{BC-PQ}{2} \)
\( =\dfrac{16-8}{2}=4 \; (cm) \)
【参考】
\( △ABP≡△DCQ \) より，対応する角も等しいので，\( ∠ABP=∠DCQ \) であり，
等脚台形の底角は等しくなります。
（（３）の問題でこの性質を利用します。）
（２） 容器に入っている水の体積を求めよ。
水面と辺 \( AB，DC，HG，EF \) との接点を
それぞれ点 \( I，J，K，L \) とし，
立体 \( IJKL-BCGF \) を 面 \( IBCJ \) が
底面となるように向きを変えると，
台形 \( IBCJ \) を底面とする四角柱になります。
台形 \( ABCD \) において，
線分 \( AP \) と線分 \( IJ \) の交点を \( R \) とすると，
\( △ABP \) ∽ \( △AIR \) になっています。
対応する辺の比は等しいので，
\( BP：IR=AP：AR \)
\( 4：IR=4\sqrt{3}：\sqrt{3} \)
\( 4\sqrt{3}IR=4\sqrt{3} \)
\( IR=1 \; (cm) \)
であり，
\( IJ=8+(1 \times 2)=10 \; (cm) \)
台形 \( IBCJ \) の面積は，
台形 \( IBCJ=(IJ+BC) \times RP \times \dfrac{1}{2} \)
\( =(10+16) \times 3\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \)
\( =39\sqrt{3} \; (cm^2) \)
四角形 \( ABFE \) は長方形なので，\( BF=AE=4 \; cm \) であり，
立体 \( IJKL-BCGF \) の体積は
立体 \( IJKL-BCGF= \)台形 \( IBCJ \times BF=39\sqrt{3} \times 4=156\sqrt{3} \; (cm^3) \)
（３） この容器を長方形 \( CDHG \) が底になるように水平な台の上に置いたとき，容器の底から水面までの高さは何 \( cm \) になるか求めよ。
容器を長方形 \( CDHG \) が底になるように水平な台の上に置くと，右の図のようになります。
この向きで水の体積は計算しにくいので，水が入っていない部分の体積を計算することで高さを求めていきます。
この容器の容積は
\( \left\{ (8+16) \times 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \right\} \times 4=192\sqrt{3} \; (cm^3) \)
なので，水が入っていない部分の体積は，
\( 192\sqrt{3}-156\sqrt{3}=36\sqrt{3} \; (cm^3) \)
になります。
（２）と同様に，水が入っていない部分を立体として考え，\( AE=4 \; cm \) を高さとすると，
底面の面積は
\( 36\sqrt{3} \div 4=9\sqrt{3} \; (cm^2) \)
になります。
面 \( ABCD \) に注目すると，
（１）より，\( △ABP \) は３辺の比が \(1：2：\sqrt{3} \) の
直角三角形であり，等脚台形の底角は等しいので，
\( ∠ABC=∠BCD=60° \) ･･･ ①
水面にあたる線分を \( MN \) とすると，
\( MN//CD \) なので，同位角は等しく，
\( ∠BMN=∠BCD=60° \) ･･･ ➁
①②より，水面が辺 \( AB \) の間にあると仮定すると，\( △BMN \) は正三角形になります。
点 \( B \) から \( MN \) に垂線をひいた交点を \( S \) とし，
\( MN=x \; cm \) とすると，
\( BS=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x \; cm \) と表せるので，
\( △BMN \) の面積を表す方程式は，
\( x \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}x \times \dfrac{1}{2}=9\sqrt{3} \)
\( \sqrt{3}x^2=36\sqrt{3} \)
\( x^2=36 \)
\( x=6 \; (cm) \) (\( 0<x≦8 \) より)
注）\( A \) と \( N \) が一致するとき，\( △BMN \) は \( AB=8 \; cm \) を１辺とする正三角形になるため，\( 0<x≦8 \) になります。
このとき，\( BS=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 6=3\sqrt{3} \; (cm) \) で，
容器全体の高さは \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 16=8\sqrt{3} \; (cm) \) なので，
容器の底から水面までの高さは \( 8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=5\sqrt{3} \; (cm) \)
大問６
右のⅠ図は，アルトリコーダーの一部を模式的に表したものであり，Ⅰ図中の点線の丸 (○)と実線の丸 (○)は，いずれも開いた状態のトーンホールを表している。それぞれのトーンホールは，吹き口に近い順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ とする。また，右のⅡ図は，アルトリコーダーでド，レ，ミ，ファ，ソの各音を吹いたときの，閉じた状態のトーンホールを黒く塗りつぶされた丸 (●) で表している。
アルトリコーダーで，ドをはじめの音として，１音ずつド，レ，ミ，ファ，ソの順にくり返し吹く。ただし，１音吹くごとに，吹いた後はすべてのトーンホールを開いた状態にするものとする。
はじめに吹いた音から順に，\( 1 \) 音目，\( 2 \) 音目，\( 3 \) 音目，･･･ とし，吹いた音およびそれぞれのトーンホールを\( 1 \) 音目から数えて閉じた回数を考える。
次の表は，\( 1 \) 音目から \( 7 \) 音目までについて，吹いた音およびそれぞれのトーンホールを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数をまとめたものである。
このとき，次の問い（１）～（３）に答えよ。
（１） \( 20 \) 音目を吹いたとき，吹いた音を，次の（ア）～（オ）から１つ選べ。 また，そのときのトーンホールＣを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数を求めよ。
（ア） ド （イ） レ （ウ） ミ （エ） ファ （オ） ソ
【\( 20 \) 音目の音】
\( 1 \) 音目から順に，
ド→レ→ミ→ファ→ソ→ド→レ→ミ→ファ→ソ→ ･･･
と５音ずつ繰り返され，５の倍数のときの音が「ソ」になるので，
\( 20 \) 音目を吹いたときの音は「ソ」になります。
【ホールＣを閉じた回数】
ホールＣが開いている回数の方が少ないので，そちらに注目すると，
上の表から，ホールＣが開いているのは「ミ」の音のときだけで，
\( 3 \) 音目 → \( 8 \) 音目 → \( 13 \) 音目 → \( 18 \) 音目 → ･･･
と４回が開いていると判断できるので，
\( 20 \) 音目までに閉じた回数は \( 20-4=16 \)（回）になります。
（２） \( 113 \) 音目を吹いたとき，トーンホールＡを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数と，トーンホールＤを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数をそれぞれ求めよ。
【ホールＡを閉じた回数】
ホールＡが開いている回数の方が少ないので，そちらに注目すると，
上の表から，
\( 5 \) 音目 → \( 10 \) 音目 → \( 15 \) 音目 → ･･･
と５の倍数（ソの音）のときだけ開いていると判断できます。
ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セットと考えると，
\( 113=5 \times 22+3 \) 音目は \( 23 \) セット目の３番目の音になります。
\( 113 \) 以下の数で最も大きい５の倍数は \( 110=5 \times 22 \) なので，
ホールＡが開いている（「ソ」の音を吹く）のは \( 22 \) 回であり，
\( 113 \) 音目までに閉じた回数は \( 113-22=91 \)（回）になります。
【ホールＤを閉じた回数】
上の表から，
\( 1 \) 音目 → \( 6 \) 音目 → \( 11 \) 音目 → ･･･
と各セットの最初（「ド」の音）のときだけ閉じていると判断できます。
ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セットと考えると，
\( 113=5 \times 22+3 \) 音目は \( 23 \) セット目の３番目の音になります。
よって，
ホールＤが閉じている（「ド」の音を吹く）のは \( 23 \) 回になります。
（３） \( n \) を自然数とする。\( (5n^2+5n-7) \) 音目を吹いたとき，トーンホールＡを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数とトーンホールＢを \( 1 \) 音目から数えて閉じた回数の差が \( 1258 \) 回であった。このときの \( n \) の値を求めよ。
ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セット，つまり，５の倍数に注目すると，
\( 5n^2+5n-7=5n^2+5n-5-2 \)
\( =5(n^2+n-1)-2 \)
と表すことができ，５の倍数番目の音（「ソ」の音）の２つ前
つまり，「ミ」の音になります。
次に，ホールＡとホールＢを閉じた回数とその差を表にすると下のようになります。
ここから，
１セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 0 \) 回
２セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 1 \) 回
３セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 2 \) 回
･･･
１２５９セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 1258 \) 回
になります。
１２５９セット目の「ミ」の音は，
\( 5 \times 1258+3=6293 \)（音目）または，\( 5 \times 1259-2=6293 \)（音目）
になるので，
\( 5n^2+5n-7=6293 \)
\( 5n^2+5n-6300=0 \)
\( n^2+n-1260=0 \)
\( (n-35)(n+36)=0 \)
\( n=35 \) (\( n>0 \) より)
