岡山県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

\( 15 \) 以上 \( 123 \) 以下の数のうち，平方数は
　\( 16=4^2，25=5^2，36=6^2，49=7^2，64=8^2，81=9^2，100=10^2，121=11^2 \)
になります。

さらに，\( \color{red}{3}(2n+1) \) の値は，必ず \( 3 \) の倍数になることから，
\( 16 \) 以上 \( 121 \) 以下の平方数のうち，\( 3 \) の倍数なのは，
　\( 36=6^2，81=9^2 \)
に限られます。

\( 3(2n+1)=36 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=36 \)
　　 \( 2n+1=12 \)
　　　　\( 2n=11 \)
　　　　　\( n=\dfrac{11}{2} \) → 自然数ではないので不適

\( 3(2n+1)=81 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=81 \)
　　 \( 2n+1=27 \)
　　　　\( 2n=26 \)
　　　　　\( n=13 \) → 自然数なので適

よって，あてはまる \( n \) の値は \( n=13 \) になります。

ア ～ エ を式で表すと，
　ア　\( y=30x \)
　イ　\( \dfrac{1}{2}xy=20 \) → \( xy=40 \)
　ウ　\( y=\dfrac{100}{x} \)
　エ　\( y=2\pi{}x \)
なので，あてはまるのは イ と ウ になります。

【反例】

四つの辺がすべて等しいだけではひし形になります。

\( 3 \) 本入りの商品Ａを \( x \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 3x \) 本，
\( 5 \) 本入りの商品Ｂを \( y \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 5y \) 本
と表すことができ，これらの合計が \( 700 \) 本なので，
この関係を方程式で表すと \( 3x+5y=700 \)

よって，用意した商品Ａと商品Ｂの個数は，
商品Ａが \( 50 \) 個，商品Ｂが \( 110 \) 個
になります。

この方程式において，まず \( b \) の取り得る値だけを考えると，
　\( b=12 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 12=60 \)（本），
　\( b=13 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 13=65 \)（本）→  \( 62 \) 本を超えているので×
なので，\( b \) の取り得る範囲は \( 0≦b≦12 \) であることがわかります。

ここから，\( 3a+5b=62 \) に \( b=0 \) から \( b=12 \) までを順に代入し，
\( a \) の値を求めると，
　\( b=0 \) のとき \( a=\dfrac{62}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=1 \) のとき \( a=19 \)
　\( b=2 \) のとき \( a=\dfrac{52}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=3 \) のとき \( a=\dfrac{47}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=4 \) のとき \( a=14 \)
　\( b=5 \) のとき \( a=\dfrac{37}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=6 \) のとき \( a=\dfrac{32}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=7 \) のとき \( a=9 \)
　\( b=8 \) のとき \( a=\dfrac{22}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=9 \) のとき \( a=\dfrac{17}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=10 \) のとき \( a=4 \)
　\( b=11 \) のとき \( a=\dfrac{7}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=12 \) のとき \( a=\dfrac{2}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
となり，あてはまるのは，
　\( (a，b)=(19，1)，(14，4)，(9，7)，(4，10) \)
の４通りになります。

第３四分位数は箱の右端の縦線の部分の値になります。
３つの箱ひげ図のうち，箱の部分の右端が最も右側にあるのは２０１０年なので，
この文章は正しいといえます。

イ ･･･ 階級値とは，その階級の幅の真ん中の値のことです。
　　　 ２０１５年の度数が最も多い階級は \( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.0+29.5}{2}=29.25 \; (kg) \) ，
　　　 ２０２０年の度数が最も多い階級は \( 29.5 \; kg \) 以上 \( 30.0 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.5+30.0}{2}=29.75 \; (kg) \) ，
　　　 なので，２０１５年より２０２０年の方が大きく，正しいといえます。

ウ ･･･ 各年のデータの個数が \( 47 \) 個なので，中央値は，小さい方から \( 24 \) 番目の値です。
　　　 ヒストグラムに累積度数を書き込むと下の図のようになります。
　　　 小さい方から \( 24 \) 番目の値が入っている階級は，
　　　 ２０１５年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 13 \) 人，
　　　 ２０２０年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 12 \) 人，
　　　 なので，正しくありません。

エ ･･･ 累積相対度数は，
　　　　 その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
　　　 で求められます。
　　　 ２０１５年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 9 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 9 \div 47=\dfrac{9}{47} \)
　　　 ２０２０年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 6 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 6 \div 47=\dfrac{6}{47} \)
　　　 よって，２０２０年より２０１５年の方が大きいので正しいといえます。

【ヒストグラムの特徴】
ヒストグラムには，１つの対象についてのデータの分布をより詳細に判断できるという特徴があります。
２０２０年のデータの場合，箱ひげ図では，\( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の度数はわかりませんが，ヒストグラムをみると，度数が \( 5 \) 人であることがわかります。
ただし，ヒストグラムは１つの図が大きくなりがちなため，
比較対象が増えれば増えるほど比較しにくくなってしまいます。
ヒストグラムでは，階級ごとの度数の分布が明確になるため，最頻値はわかりやすくなっていますが，
最大値，最小値などの代表値はほとんどの場合読み取ることができません。

　　　 \( y=ax^2 \) のグラフにおいて，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，
　　　 \( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
　　　 また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=2 \) のときなので，
　　　 \( y \) の最大値は，
　　　　 \( y=a \times 2^2=4a \)

　　　 よって，あてはまる \( y \) の変域は \( 0≦y≦4a \) なので，正しくありません。

Ⅱ ･･･ 変化の割合とは，任意の２点を直線で結んだときの傾きになります。
　　　 ２点 \( (0，0)，(1，a) \) を結ぶ直線の傾きを \( m \) とすると，
　　　　 \( m=\dfrac{a-0}{1-0}=a \)
　　　 ２点 \( (1，a)，(2，4a) \) を結ぶ直線の傾きを \( n \) とすると，
　　　　 \( n=\dfrac{4a-a}{2-1}=3a \)
　　　 であり，変化の割合は一定ではないので，正しくありません。

Ⅲ ･･･ \( x=1 \) のとき，\( y=a \times 1^2=a \)　　\( x=-1 \) のとき，\( y=a \times (-1)^2=a \)
　　　 \( x=2 \) のとき，\( y=a \times 2^2=4a \)　　\( x=-2 \) のとき，\( y=a \times (-2)^2=4a \)
　　　 \( x=3 \) のとき，\( y=a \times 3^2=9a \)　　\( x=-3 \) のとき，\( y=a \times (-3)^2=9a \)
　　　　 ･･･
　　　 \( x=t \) のとき，\( y=a \times t^2=at^2 \)　　\( x=-t \) のとき，\( y=a \times (-t)^2=at^2 \)
　　　 となり，\( x \) 座標の絶対値が等しければ，どのような値をとっても \( y \) 座標の値は等しくなるので，
　　　 このグラフは \( y \) 軸について対称であるといえ，正しいです。

点 \( B \) と \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，
点 \( C \) の \( y \) 座標も \( \dfrac{1}{2}t^2 \) になります。

　い　
\( y \) が \( x \) の２乗に比例するとき，\( x \) の値が \( m \) 倍になると，\( y \) の値は \( m^2 \) 倍になります。

つまり，点 \( C \) の \( y \) 座標が点 \( A \) の \( y \) 座標の \( 3 \) 倍になることから，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっています。

念のために点 \( C \) の \( y \) 座標が \( \dfrac{1}{2}t^2 \) であるときの \( x \) 座標の値を求めると，
　\( \dfrac{1}{2}t^2=\dfrac{1}{6}x^2 \)
　 \( x^2=3t^2 \)
　　\( x=\sqrt{3}t \)（\( x>0 \) より）
よって，点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( \sqrt{3}t \) となるので，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっていることが確認できます。

よって，\( △EFG \) は，\( △ABC \) に対して，底辺が \( 3 \) 倍，高さが \( 9 \) 倍なので，
面積は \( 27 \) 倍になります。
（底辺が \( 9 \) 倍，高さが \( 3 \) 倍と考えても結果は同じです。）

\( △AEF \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AC=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，線分 \( CH \) の長さは，
　\( CH=AC-AH \)
　　　\( =4\sqrt{2}-\dfrac{10\sqrt{2}}{3} \)
　　　\( =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \; (cm) \)