島根県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

範囲は　最大値 \( – \) 最小値　で求められます。
また，箱ひげ図（縦書き）では，
ひげの上端から下端までの長さ
が範囲を表しています。

各時間帯でのおよその範囲は，
　　\( 7～9 \) 時 ･･･  \( 115-67=48 \)（人）
　 \( 9～11 \) 時 ･･･  \( 111-45=66 \)（人）
　\( 11～13 \) 時 ･･･  \( 134-91=43 \)（人）
　\( 13～15 \) 時 ･･･  \( 80-50=30 \)（人）
　\( 15～17 \) 時 ･･･  \( 120-77=43 \)（人）
であり，範囲が最も小さい時間帯は，
\( 13～15 \) 時になります。

また，四分位範囲はデータのばらつきを示して
おり，値が小さいほどばらつきが少ないと
考えられます。
さらに，箱ひげ図では四分位範囲は箱の長さとして表されており，全体の約半数のデータを含んでいます。

\( 11～13 \) 時の時間帯の中央値（約 \( 113 \) 人）は
もっとも大きく，
さらに，四分位範囲が小さい（箱の長さが短い）ことから，約半数の日数（１０日間）の利用者数が
\( 110 \) 人以上 \( 120 \) 人以下であることがわかります。

５合升の内側を表す直方体を右の図のように表し，
内側の高さを \( h \; cm \) すると，
　\( 10 \times 10 \times h=900 \)
　　　　　　 \( h=9 \; (cm) \)

【面 \( ABCD \) が水平になるとき】
図２の状態そのままで，升に水がいっぱい入ったままの状態なので，あてはまりません。

【面 \( ACGE \) が水平になるとき】
面 \( A，C，D \) にあたる部分から水がこぼれてしまうので，升内の水面が４点 \( A，C，G，E \) を通る状態で維持することはできません。

【面 \( ADGF \) が水平になるとき】
水は，三角柱 \( AEF-DHG \) の形になります。

\( AF，DG \) は長方形 \( AEFB \) の対角線なので，\( △AEF \) の面積は長方形 \( AEFB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \)

\( DG \) は長方形 \( DHGC \) の対角線なので，\(  \) ，\( △DHG \) の面積は長方形 \( DHGC \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \)

なので，升に残った水の体積はちょうど半分になります。

図２に面 \( CHF \) を書き加えると，残った水の部分は，
三角すい \( C-FGH \) の形になっているので，その体積は，
　\( \left( 10 \times 10 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 9 \times \dfrac{1}{3}=150 \; (cm^3) \)

それぞれの升の内側の底面の１辺の長さと
水をいっぱいに入れたときの水の体積の関係は，
　升１ ･･･ \( y_1=t^2 \times h_1 \) → \( h_1=\dfrac{y_1}{t^2} \)
　升２ ･･･ \( y_2=t^2 \times h_2 \) → \( h_2=\dfrac{y_2}{t^2} \)
　升３ ･･･ \( y_3=t^2 \times h_3 \) → \( h_3=\dfrac{y_3}{t^2} \)
と表すことができます。

（１）より，点 \( S \) の \( x \) 座標は \( 15 \) なので，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 15 \times \dfrac{4}{5}=12 \) です。

升２の内側の高さを \( h_2 \; cm \) とすると，
升２の \( x \) と \( y \) の関係式は \( y=h_2 \times x^2 \) なので，
\( x=12，y=900 \) を代入すると，
　\( 900=h_2 \times 12^2 \)
　 \( h_2=\dfrac{25}{4} \; (cm) \)
になります。

\( △ABD \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
　\( AB：AD=2：\sqrt{3} \)
　　\( 4：AD=2：\sqrt{3} \)
　　　\( 2AD=4\sqrt{3} \)
　　　 \( AD=2\sqrt{3} \)

\( △ABD \) において，
　\( AB：BD=2：1 \)
　　\( 4：BD=2：1 \)
　　　 \( BD=2 \)

\( △ACD \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AD=DC=2\sqrt{3} \)

\( △CFD \) と \( △CEB \) において，
共通な角なので，\( ∠DCF=∠BCE \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠CFD=∠CEB=90°  \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △CFD \) ∽ \( △CEB \)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
　　　　（交点を \( P，Q \) とします）
手順２　２点 \( P，Q \) を通る直線を描く。

手順２の直線と辺 \( AB \) の交点が
求める点 \( O \) になります。

右の図のように３点 \( A，B，E \) を通る円を描くと，
\( ∠AEB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角になっていて，
\( ∠AEB=90° \) であることから、
線分 \( AB \) はこの円の直径になります。
よって，この円の中心 \( O \) は，線分 \( AB \) の中点になります。

このことから，線分 \( AB \) の垂直二等分線を描くことによって，線分 \( AB \) の中点を求めることができます。

\( ∠CDF=45°，∠ADC=90° \) であることから，
線分 \( DF \) は \( ∠ADC \) の二等分線です。

\( △ACD \) は直角二等辺三角形なので，
線分 \( DF \) と辺 \( AC \) の交点 \( F \) は
辺 \( AC \) の中点になっています。

（１）より，点 \( O \) は辺 \( AB \) の中点なので，
　\( AO：AB=AF：AC=1：2 \)，
　\( ∠AOF=∠BOC \)，
であり，
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AOF \) ∽ \( △ABC \)

対応する辺の比は等しいので，\( OF：BC=1：2 \)

\( △AOF \) の底辺を \( AF \)，\( △EOF \) の底辺を \( EF \) とすると，高さが共通なので，
\( △AOF \) と \( △EOF \) の面積比は \( EF：AF \) と等しくなります。

ここから，\( △AOF \) の面積と \( AF：EF \) を
求めることができれば，\( △EOF \) の面積を求めることができます。

【\( △AOF \) の面積を求める】
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しくなります。

（２）より，\( △AOF \) と \( △ABC \) の相似比は \( 1：2 \) なので，、面積比は，
　\( △AOF：△ABC=1^2：2^2=1：4 \)

問１の２より，\( △ABC=6+2\sqrt{3} \) なので，
　\( △AOF：(6+2\sqrt{3})=1：4 \)
　　　　　　\( 4△AOF=6+2\sqrt{3} \)
　　　　　　　\( △AOF=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} \)

【\( EF：AF \) を求める】
\( △CFD \) ∽ \( △CEB \)，\( BD=2，DC=2\sqrt{3} \)
なので，
　\( EF：FC=BD：DC=1：\sqrt{3} \)
また，点 \( F \) は辺 \( AC \) の中点なので，
　\( EF：AF=EF：FC=1：\sqrt{3} \)

以上より，
　\( △EOF：△AOF=1：\sqrt{3} \)
　\( △EOF：\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}=1：\sqrt{3} \)
　　　　\( \sqrt{3}△EOF=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2} \)
　　　　　　\( △EOF=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \)