茨城県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

大問１

（１） 次の１～３の計算をしなさい。
１ \( 5-8 \)

２ \( 4(3x-y)-(6x-5y) \)

３ \( (-10a^2b)÷\dfrac{5}{2}ab \)

（２） \( \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) の分母を有理化しなさい。

（３） \( x^2-x-12 \) を因数分解したとき，その結果として正しいものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　\( (x-1)(x-12) \)
　　　　 イ　\( (x+2)(x-6) \)
　　　　 ウ　\( (x+3)(x-4) \)
　　　　 エ　\( (x-3)(x+4) \)

大問２

（１） ある数 \( x \) を２乗すると，\( x \) の \( 5 \) 倍より \( 1 \) だけ大きくなる。
このとき，\( x \) の値として正しいものを，次のア～カの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{21}}{2} \) 　　　イ　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{26}}{2} \) 　　　ウ　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{29}}{2} \)
　　　　 エ　\( x=\dfrac{5±\sqrt{21}}{2} \) 　　　　オ　\( x=\dfrac{5±\sqrt{26}}{2} \) 　　　　カ　\( x=\dfrac{5±\sqrt{29}}{2} \)

（２） 次の表は，Ａ中学校の３年生男子 \( 40 \) 人とＢ中学校の３年生男子 \( 80 \) 人のハンドボール投げの記録を度数分布表に表したものである。

このとき，この表から読み取れることとして正しくないものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　　 ア　度数分布表の階級の幅は \( 5 \; m \) である。
　　　　　 イ　Ａ中学校の最頻値（モード）は \( 17.5 \; m \) である。
　　　　　 ウ　Ｂ中学校の中央値（メジアン）が含まれる階級は \( 20 \; m \) 以上 \( 25 \; m \) 未満である。
　　　　　 エ　Ａ中学校とＢ中学校の \( 25 \; m \) 以上 \( 30 \; m \) 未満の階級の相対度数は等しい。
　　　　　 オ　Ａ中学校とＢ中学校の \( 15 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級までの累積相対度数は等しい。

（４） 次の図２のように，正方形の紙をマグネットでとめていく。\( 2 \) 枚以上とめるときは,正方形の紙の一部を重ねて横一列に並べてとめる。
例えば，正方形の紙を \( 2 \) 枚とめるときは，マグネットを \( 6 \) 個使う。

このとき，正方形の紙を \( 36 \) 枚とめるのに使うマグネットの個数として正しいものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　\( 72 \) 個 　　　イ　\( 74 \) 個 　　　ウ　\( 96 \) 個 　　　エ　\( 108 \) 個 　　　オ　\( 144 \) 個

【解説】

使用されるマグネットを１枚だけの部分をとめているものと２枚重ねた部分 \( \color{blue}{\boxed{　　}} \) を止めている
ものにわけて考えると，
　\( 1 \) 枚の紙をとめるとき ･･･ \( 1 \) 枚だけの部分をとめているものは \( 4 \) 個
　　　　　　　　　　　　　 重ねた部分はないので \( 0 \) 個
　\( 2 \) 枚の紙をとめるとき ･･･ \( 1 \) 枚だけの部分をとめているものは \( 4 \) 個
　　　　　　　　　　　　　 重ねた部分 \( 1 \) か所を \( 2 \) 個使ってとめているので \( 1 \times 2=2 \) 個
　\( 3 \) 枚の紙をとめるとき ･･･ \( 1 \) 枚だけの部分をとめているものは \( 4 \) 個
　　　　　　　　　　　　　 重ねた部分 \( 2 \) か所を \( 2 \) 個使ってとめているので \( 2 \times 2=4 \) 個

となっているので，\( n \) 枚の紙をとめるときを考えると，
　\( n \) 枚の紙をとめるとき ･･･ \( 1 \) 枚だけの部分をとめているものは \( 4 \) 個
　　　　　　　　　　　　　 重ねた部分 \( n-1 \) か所を \( 2 \) 個使ってとめているので
　　　　　　　　　　　　　 \( (n-1) \times 2=2(n-1) \) 個
と考えられるので，
　\( 36 \) 枚の紙をとめるとき ･･･ \( 1 \) 枚だけの部分をとめているものは \( 4 \) 個
　　　　　　　　　　　　　　重ねた部分 \( 36-1=35 \) か所を \( 2 \) 個使ってとめているので
　　　　　　　　　　　　　　\( 35 \times 2=70 \) 個
となり，合計は \( 4+70=74 \)（個）になります。

大問３

ふうがさんとりこさんの次の会話を読んで，（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，会話文中のそれぞれの机において，どのカードが引かれることも同様に確からしいとする。

ふうが：\( 1 \) から \( 8 \) までの数が１つずつ書かれた８枚のカード \( \boxed{1}，\boxed{2}，\boxed{3}，\boxed{4}，\boxed{5}，\boxed{6}，\boxed{7}，\boxed{8} \) と，
　　　　\( + \) と \( – \) の記号が１つずつ書かれた２枚のカード \( \boxed{+}，\boxed{-} \) があるね。
り　こ：うん。カードを何枚か使って，いろいろな確率を考えてみようよ。
ふうが：まずは \( 1 \) から \( 8 \) までの数が１つずつ書かれた８枚のカードを使うね。
り　こ：\( \boxed{1}，\boxed{2}，\boxed{6}，\boxed{8} \) の４枚のカードをＡの机へ，\( \boxed{3}，\boxed{4}，\boxed{5}，\boxed{7} \) の４枚のカードをＢの机へ
　　　　それぞれ置くよ（図１）。

ふうが：うん。Ａの机，Ｂの机に置いてあるカードを数が見えないようにすべて裏返し，それぞれの机の上で
　　　　よく混ぜておくね。
り　こ：Ａの机とＢの机からそれぞれ１枚ずつカードを引いたとき，Ａの机から引いたカードに書かれた数が，
　　　　Ｂの机から引いたカードに書かれた数より大きくなる確率を求めてみようよ。
ふうが：この確率は 　Ⅰ　 になるよ。
り　こ：そうだね。

（１）
➀　会話文中の 　Ⅰ　 に当てはまる数を求めなさい。

ふうが：引いたカードは，もとの机に数が見えないように裏返してもどすね。
り　こ：Ａの机には \( \boxed{1}，\boxed{2}，\boxed{6}，\boxed{8} \) の4枚のカードが，Ｂの机には \( \boxed{3}，\boxed{4}，\boxed{5}，\boxed{7} \) の４枚のカードがあるね。次はどうしようか。
ふうが：Ａの机から引いたカードに書かれた数を十の位の数，Ｂの机から引いたカードに書かれた数を一の位の数とすれば，２けたの整数がつくれるね。
り　こ：うん。Ａの机，Ｂの机に置いてあるカードをそれぞれの机の上でもう一度よく混ぜておくね。その後，Ａの机とＢの机からそれぞれ１枚ずつカードを引いて２けたの整数をつくったとき，その整数が３の倍数になる確率を求めてみようよ。
ふうが：いいよ。この確率は 　Ⅱ　 だね。
り　こ：そうだね。

➁　会話文中の 　Ⅱ　 に当てはまる数を求めなさい。

ふうが：いろいろな確率が求められるね。
り　こ：うん。最後は，\( \boxed{+}，\boxed{-} \) の２枚のカードも使おうか。
ふうが：\( \boxed{7}，\boxed{8} \) の２枚のカードをＡの机へ，\( \boxed{+}，\boxed{-} \) の２枚のカードをＢの机へ，\( \boxed{1}，\boxed{2} \) の
　　　　２枚のカードをＣの机に置くね。
り　こ：うん。だけど，Ａの机にだけ 　Ⅲ　 のカードを１枚追加して３枚にしようよ（図２）。

ふうが：いいね。Ａの机，Ｂの机，Ｃの机からこの順にそれぞれ１枚ずつカードを引くよ。引いた順に
　　　　カードを並べて計算した値について考えてみようか。例えば，Ａの机から \( \boxed{7} \)，Ｂの机から \( \boxed{-} \)，
　　　　Ｃの机から　\( \boxed{1} \) のカードを引いたとき，計算した値は，\( 7-1=6 \) になるよ。
り　こ：そうすると，Ｂの机から \( \boxed{+} \) のカードを引いたときの計算は，たし算になるということだね。
ふうが：そうだよ。Ａの机，Ｂの机，Ｃの机に置いてあるカードを数や記号が見えないようにすべて
　　　　裏返し，それぞれの机の上でよく混ぜておくね。
り　こ：Ａの机，Ｂの机，Ｃの机からこの順にそれぞれ１枚ずつカードを引いて，引いた順にカードを
　　　　並べて計算したとき，その値が素数になる確率を求めてみようよ。
ふうが：うん。この確率は，\( \dfrac{5}{12} \) になるよ。

（２） 会話文中の 　Ⅲ　 に当てはまるものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　\( \boxed{3} \) 　　　イ　\( \boxed{4} \) 　　　ウ　\( \boxed{5} \) 　　　エ　\( \boxed{6} \)

大問４

四角形について，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（２） \( AB=8 \; cm，BC=12 \; cm，∠ABC=60° \) の平行四辺形 \( ABCD \) がある。

＜証明＞
\( △AFE \) と \( △CFD \) において，
平行四辺形の対辺は等しいから，
　\( AB=DC \) ･･･ ➀
折り返したときの対応する辺の長さは等しいから，
　\( AB=AE \) ･･･ ②
➀，②から，\( AE=DC \)
したがって，\( AE=CD \) ･･･ ➂
平行四辺形の対角は等しいから，
　　Ⅰ　 ･･･ ➃
折り返したときの対応する角は等しいから，
　\( ∠ABC=∠AEC \) ･･･ ➄
➃，➄から，\( ∠AEC=∠CDA \)
したがって，\( ∠AEF=∠CDF \) ･･･ ⑥
　　Ⅱ　 は等しいから，
　\( ∠AFE=∠CFD \) ･･･ ➆
⑥，➆と三角形の内角の和が \( 180° \) であることから，
　\( ∠FAE=∠FCD \) ･･･ ⑧
➂，➅，⑧から,　　Ⅲ　　 がそれぞれ等しいので，
　\( △AFE≡△CFD \)

大問５

（１） 関数 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。

（２） ①　ひよりさんは，原点 \( O \) から点 \( B \) まで左の方向へ点 \( P \) を動かした。
直線 \( l \) をグラフとする１次関数の式を \( y=ax+b \) とするとき，\( a \) の値と \( b \) の値がそれぞれどのように変化するか，当てはまるものの組み合わせとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　ア　\( a \) の値 ･･･ 大きくなる 　　\( b \) の値 ･･･ 大きくなる
　　イ　\( a \) の値 ･･･ 大きくなる 　　\( b \) の値 ･･･ 小さくなる
　　ウ　\( a \) の値 ･･･ 小さくなる 　　\( b \) の値 ･･･ 大きくなる
　　エ　\( a \) の値 ･･･ 小さくなる 　　\( b \) の値 ･･･ 小さくなる

大問６

（１） この円錐の展開図について，側面になるおうぎ形の中心角の大きさとして正しいものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　\( 72° \) 　　　イ　\( 108° \) 　　　ウ　\( 135° \) 　　　エ　\( 216° \) 　　　オ　\( 270° \)

（２） ①　この円錐の体積を求めなさい。

➁　次の図２のように，円柱の形をした容器があり，水面の高さが \( 3 \; cm \) のところまで水が入っている。ここに，図１の円錐と同じ形，同じ大きさのおもりを入れると，図３のように，水面の高さが \( 4 \; cm \) になった。
このとき，容器の底面の半径を求めなさい。
ただし，容器の底面と水面は常に平行になっており，おもりの底面と容器の底面との間にすき間はないものとする。また，容器の厚さは考えないものとする。