奈良県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

手順１　点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
　　　　（交点を点 \( D，E \) とします）
手順２　２点 \( D，E \) を通る直線を描く
手順３　点 \( C \) を中心に円弧を描く
　　　　（直線 \( DE \) との交点を点 \( F，G \) とします）
手順４　点 \( F，G \) を中心に円弧を描く
　　　　（交点を点 \( H \) とします）
手順５　２点 \( C，H \) を通る直線を描く

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

四角形 \(  XPOQ\) において，
\( △XYZ \) は直角二等辺三角形なので，\( ∠PXQ=45° \)
線分 \( XY，XZ \) はどちらも円 \( O \) の接線なので，
\( ∠OPX=∠OQX=90° \)

よって，
　\( ∠POQ=360°-(∠PXQ+∠OPX+∠OQX) \)
　　　　　\( =360°-(45°+90°+90°) \)
　　　　　\( =135° \)

線分 \( XR \) 上に点 \( A \) をとり，辺 \( XY，XZ \) に垂線をひいたときの交点を点 \( B，C \) とすると，
　\( ∠ABX=∠ACX=90°，∠BXA=∠CXA \)，\( AX \) は共通
なので，\( △ABX≡△ACX \) であり，\( AB=AC \) になっています。

よって，点 \( A \) と辺 \( XY，XZ \) との距離は等しくなります。

線分 \( OQ \) の延長線と線分 \( XY \) の交点を点 \( S \) とすると，
\( ∠SXQ=45°，∠OQX=90° \) より，
\( △SQX \) は直角二等辺三角形になっています。

ここから，\( XQ=x \; cm \) とすると，\( QS=XQ=x \; cm \)
また，\( XS：XQ=\sqrt{2}：1 \)

線分 \( XO \) は \( ∠SXQ=45° \) の二等分線なので，
\( SO：OQ=XS：XQ=\sqrt{2}：1 \) になります。

\( QS=x \; cm，OQ=2 \; cm \) より，\( SO=x-2 \; cm \) なので，
　\( SO：OQ=\sqrt{2}：1 \)
　 \( x-2：2=\sqrt{2}：1 \)
　　　\( x-2=2\sqrt{2} \)
　　　　　\( x=2+2\sqrt{2} \; (cm) \)

点 \( A \) が辺 \( XZ \) 上にあるとき，正方形 \( ABCD \) を点 \( X \) に一番近くなるところまで移動させると，\( AX=3cm \) になります。
（\( △XAB \) が直角二等辺三角形になるため）

同様に，点 \( A \) が辺 \( XY \) 上にあるときも，\( AX=3cm \) のときに
点 \( X \) に一番近くなります。

また，点 \( A \) が \( △XYZ \) の内部にあるときも，
会話の内容と問➀から \( AX=3cm \) となります。

以上より，点 \( A \) が辺 \( XY \) から辺 \( XZ \) まで移動するときは，
常に点 \( X \) からの距離が \( 3cm \) になり，
正方形が通過しない部分の形状は，
半径 \( 3cm \)，中心角 \( 45° \) のおうぎ形になります。

ア　直線 \( AB \) と直線 \( PQ \) では，直線 \( AB \) の方が
　　傾きが小さくなっています。
　　つまり，\( a \) の値が大きくなるとき，傾きは小さくなります。
　　（傾きは負の値のとき，急角度の方が傾きが小さくなります。）

イ　\( AB=\sqrt{AM^2+BM^2}，PQ=\sqrt{QN^2+PN^2} \) なので，
　　\( AM=QN=6，BM>PN \) より，
　　　\( AB=\sqrt{36+BM^2} \)
　　　\( PQ=\sqrt{36+PN^2} \)
　　となり，\( AB>PQ \)
　　つまり，\( a \) の値が大きくなるとき，
　　線分 \( AB \) の長さは長くなります。

ウ　\( △OAB=OE \times 4 \times \dfrac{1}{2}+OE \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　\( =OE \times (4+2) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　\( =OE \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( △OPQ=OR \times 4 \times \dfrac{1}{2}+OR \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　\( =OR \times (4+2) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　\( =OR \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　となります。
　　\( OE>OR \) なので，\( △OAB>△OPQ \)
　　つまり，\( a \) の値が大きくなるとき，
　　\( △OAB \) の面積は大きくなります。

エ　\( △ASE \)∽\( △BTE \) で，\( SE：TE=4：2=2：1 \) なので，
　　　\( AE：EB=2：1 \)
　　\( △PUR \)∽\( △QVR \) で，\( UR：QR=4：2=2：1 \) なので，
　　　\( PR：RQ=2：1 \)
　　つまり，\( a \) の値が大きくなっても，
　　\( AE：EB \) の比の値は変わりません。

\( A(-4，16a)，B(2，4a)，C(-4，-8)，D(2，-2) \) なので，
四角形 \( ACDB \) は，
上底 \( 4a+2 \)，下底 \( 16a+8 \)，高さ \( 6 \) の台形
になっています。
四角形 \( ACDB \) の面積は，
　四角形 \( ACDB=\{ (4a+2)+(16a+8) \} \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　 \( =60a+30 \)

直線 \( OD \) は原点 \( O \) と \( D(2，-2) \) を通るので，
直線 \( OD \) の式は，\( y=-x \) となります。
直線 \( OD \) と線分 \( AC \) の交点を \( F \) とすると，\( F(-4，4) \) なので，
　\( △CDF=12 \times 6 \times \dfrac{1}{2}=36 \)

\( △CDF \) の面積が四角形 \( ACDB \) の面積の半分になるとき，
　\( \dfrac{1}{2} \) 四角形 \( ACDB=△CDF \)
　　\( \dfrac{1}{2} \times (60a+30)=36 \)
　　　　　\( 60a+30=72 \)
　　　　　　　　\( 60a=42 \)
　　　　　　　　　 \( a=\dfrac{7}{10} \)

\( △AEF \) と \( △BCE \) において，
弧 \( CD \) に対する円周角なので，\( ∠EAF=∠CBE \) ･･･ ①
\( EF⊥AD \) なので，\( ∠EFA=90° \) ･･･ ➁
\( AC⊥BD \) なので，\( ∠CEB=90° \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠EFA=∠CEB=90° \) ･･･ ➃
①➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △AEF \) ∽ \( △BCE \)

\( △AED \) は，直角三角形になっているので，
\( ∠DAE= \) ○，\( ∠ADE= \) × とすると，
　○ \( + \) × \( +90°=180° \)
　　　　○ \( + \) × \( =90° \)
\( △DEF \) も直角三角形になっているので，
　\( ∠DEF=180°-(90°+ \) ×\( ) \)
　　　　　\( =90°- \) ×
　　　　　\( = \) ○
よって，\( ∠DAE=∠DEF= \) ○ ･･･ ①
対頂角は等しいので，\( ∠GEB=∠DEF= \) ○ ･･･ ➁
弧 \( CD \) に対する円周角なので，\( ∠DAE=∠GBE= \) ○ ･･･ ➂
①➁➂より，\( ∠GEB=∠GBE- \) ○

以上より，\( ∠DAE=∠GEB=∠GBE=a° \) なので，
　\( ∠BGE=180°-2a° \)

\( ∠AED=∠BEC=90°，∠DAE=∠CBE \) より，
\( △AED \) ∽ \( △BEC \) なので，
　\( AE：DE=BE：CE \)
　　　 \( 4：3=8：CE \)
　　　　\( CE=6 \; (cm) \)

点 \( G \) から線分 \( BE \) に垂線をひき，交点を点 \( H \) とすると，
(2) より，\( △BGE \) は二等辺三角形なので，
点 \( H \) は線分 \( BE \) の中点になっています。
さらに，\( △BHG \) ∽ \( △BEC \) なので，
\( BH=HE \) より，\( BG=GC \) になっています。

\( △BEC \) と \( △CEG \) は高さが共通なので，
面積比は底辺の長さの比になります。
\( △BEC \) の面積は，
　\( △BEC=BE \times CE \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =8 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =24 \; (cm^2) \)
なので，
　\( △BEC：△CEG=BC：GC \)
　　　　\( 24：△CEG=2：1 \)
　　　　　　 \( △CEG=12 \; (cm^2) \)

２点 \( A，O \) をを通る直線と円 \( O \) の交点のうち，
点 \( A \) と異なる点を点 \( I \) とします。
また，補助線 \( AB \) をひくと，
\( ∠ABI=∠AED=90°，∠AIB=∠ADE \) より，
\( △AED \) ∽ \( △ABI \)

\( △ABE \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=AE^2+BE^2 \)
　　　　\( =4^2+8^2 \)
　　　　\( =80 \)
　　\( AB=4\sqrt{5} \; (cm) \)（\( AB>0 \)より）